Equações Diofantinas

Equações Diofantinas Desde a antiguidade sabe-se que a procura de todos os inteiros positivos que satisfazem a identidade x² + y²= z² é equivalente ao problema de se determinar todos os triângulos retângulos cujos lados são inteiros. Tais ternas são denominadas Pitagóricas e a equação x² + y² = z², cujas soluções são inteiros positivos, é chamada de equação Diofantina. Esta equação pode ser generalizada para xⁿ + yⁿ = zⁿ, onde n é um número natural e n > 2. É conhecida como equação de Fermat, a mais famosa da matemática e será tema de algumas de nossas reflexões. Um outro exemplo famoso de equação Diofantina é a curva de Fibonacci, isto é, o sistema de equações x² + y² = z², x² - y² = t², que foi inicialmente estudado em 1220 por Leonardo de Pisa mais conhecido como Fibonacci. O matemático grego Diophantus de Alexandria (4o Século A.C.) foi o primeiro a investigar o problema de se determinar soluções inteiras de equações, particularmente os casos em que o número de variáveis é maior que o número de equações. Diophantus contentava-se em encontrar uma única solução em vez de todas as soluções, e permitia soluções fracionárias em vez de soluções inteiras. Entretanto essa distinção é irrelevante: por exemplo, considere a equação x² + y² = z². Se uma solução fracionária é obtida, então a partir dela obtém-se uma solução inteira. Reciprocamente, se uma solução inteira é encontrada, obtém-se a partir dela uma fracionária. Por exemplo, da solução (3,4,5)…

[pic] EQUAÇÕES DIOFANTINAS ATIBAIA ABRIL-2012 EQUAÇÕES DIOFANTINAS Trabalho apresentado ao Professor Edevaldo Donizetti de Campos da disciplina Fundamentos da Algebra do curso de…

ALGÉBRICO NO 8º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL ATRAVÉS DE EQUAÇÕES DIOFANTINAS1 Nasser Almeida Ourives Filho2 nasserourivesfilho@yahoo.com.br RESUMO: Este trabalho visa investigar idéias que possibilitem ao aluno do 8º ano do Ensino Fundamental desenvolver o pensamento algébrico através de equações diofantinas lineares. Além disso, ressalta a importância da Álgebra como ferramenta essencial para o desenvolvimento do raciocínio lógico do aluno, bem como torná-lo mais organizado, mais…

Equações Diofantinas Nível Intermediário Denominaremos equação diofantina (em homenagem ao matemático grego Diofanto de Alexandria) uma equação em números inteiros. Nosso objetivo será estudar dois tipos particulares de equações diofantinas, a equação de Pitágoras e a de Pell, e determinar suas soluções. Também estudaremos o método da descida, que nos permitirá mostrar que algumas equações diofantinas não possuem soluções não triviais, num sentido a ser precisado. Equações…

Uma equação diofantina linear em duas variáveis é uma expressão da forma a.x + b.y c, na qual a, b, c são inteiros, com a e b não simultaneamente nulos e cujas soluções estão restritas ao conjunto dos números inteiros. Uma solução dessa equação é então um par de inteiros (x0, y0) tal que a.x0 + b.y0 = c. Vale ressaltar que, apesar deste tipo de equações que visa soluções inteiras receberem o nome de Diofantinas devido a Diofanto de Alexandria, o primeiro matemático a encontrar uma…

7 Equa»~es diofantinas lineares co Considere o seguinte problema. Se um trabalhador recebe 510 reais em t¶ ³quetes de alimenta»~o, com valores de 20 reais ou 50 reais cada t¶ ca ³quete, de quantas formas pode ser formado o carn^ de t¶ e ³quetes desse trabalhador ? Se x denota a quantidade de t¶ ³quetes de 20 reais e se y denota a quantidade de t¶ ³quetes de 50 reais ent~o a equa»~o 20x + 50y = 510 deve ser satisfeita e o problema ¶ a ca e resolvido determinando-se todas as solu»~es…

EQUAÇÕES DIOFANTINAS NA FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA Claudia Lisete Oliveira Groenwald Universidade Luterana do Brasil claudiag@ulbra.br Rosvita Fuelber Franke Universidade Luterana do Brasil rosvitafranke@ig.com.br Introdução Com a corrente da Matemática “Moderna” tanto a Geometria como a Teoria dos Números ficaram relegadas à segundo plano nos currículos da Matemática, nos últimos anos, a Geometria voltou a recuperar sua força e importância nos currículos, porém não ocorreu…

versa essencialmente sobre a resolução de equações algébricas com coeficientes racionais (ou inteiros, pois podemos facilmente desembaraçá-las de denominadores). Às soluções impõe-se um requisito: serem números inteiros ou quocientes de inteiros. As equações diofantinas são equações algébricas (ou, de um modo mais geral, sistemas de equações algébricas) em várias variáveis com coeficientes racionais, cujas soluções são inteiros ou racionais. Herdaram a designação do matemático grego…

conhecido por Eudoxo de Cnido (cerca de 375 a.C.).[2][6] Poderá ainda ser anterior a Eudoxo,[7][8] a julgar pelo uso do termo técnico ἀνθυφαίρεσις (anthyphairesis, subtração recíproca) em trabalhos de Euclides e Aristóteles.[9] Séculos mais tarde, o algoritmo de Euclides terá sido reinventado de forma independente na Índia e China,[10] sobretudo para resolver equações diofantinas que surgiram relacionadas com a Astronomia e a elaboração de calendários precisos. No final do século V, o…

2. Equações lineares 2.1 Equações diofantinas Comecemos com um exemplo. Exemplo 2.1 Suponhamos que só existiam moedas de 15 e de 7 escudos e que eu queria pagar (em dinheiro) uma certa quantia em escudos. Será que é sempre possível? E se só existissem moedas de 12 e de 30 escudos? No primeiro caso, se conseguirmos pagar 1 escudo então também sabemos pagar qualquer quantia: basta repetir o pagamento de 1 escudos as vezes que forem necessárias. Para pagar 1 escudo podemos usar uma…