Vetores No Plano E No Espaço

Dados os vetores, em ℝ2, = (3,-2) e = (1,1), calcule: a) + g) | − | b) − h) | + | c) − i) −12 d) | | j) . e) | | k) + 2 f) 2( + ) l) 2. Dados os vetores, em ℝ3, = (1,2,3) e = (2,-2,2), calcule: a) + g) | − | b) − h) | + | c) − i) −12 d) | | j) . e) | | k) + 2 f) 2( + ) l) 3. Dados os vetores =3 −2 e =−2 − , calcule: a) + g) | − | b) − h) | + | c) − i) −12 d) | | j) . e) | | k) + 2 f) 2( + ) l) 4. Sabendo que os vetores a seguir

não-euclidiana foi János Bolyai, que em 1832 publicou seu trabalho sobre a geometria hiperbólica. Assim, Gauss, Lobachevsky e Bolyai descobrem um espaço a partir do conflito com o V postulado de Euclides, chamado espaço hiperbólico. E ainda, partindo da quebra do V postulado de Euclides, Riemann descreveu outro tipo de espaço não-euclidiano, o espaço elíptico [12]. Como toda teoria que afeta discussões firmemente estabelecidas, a nova geometria não foi muito bem recebida. Passando…

Prefácio Esta apostila tem por interesse suprir as necessidades de um estudante que precise adquirir conhecimentos básicos a respeito de vetores. A princípio imagina-se um aluno de primeiro ano de graduação (onde normalmente se estudam estes conteúdos). No entanto, é válido ressaltar que é de extrema importância que este material seja complementado com listas de exercícios extras que podem ser encontrados na bibliografia abaixo listada. Agradeço a atenção e paciência de todos e desejo-lhes

1 - O VETOR Considere o segmento orientado AB na figura abaixo. Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante definidos: comprimento (denominado módulo) direção sentido (de A para B) Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos orientados equipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os segmentos orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB. Assim, a idéia de vetor nos levaria a uma…

Vetores Determinado por um segmento orientado AB, é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB. Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever: onde XY é um segmento qualquer do conjunto. O vetor determinado por AB é indicado por ou B - A ou . Um mesmo vetor é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, os quais são todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor

- - - - - - - - - - - - - - - - - - 11 1 Introdução aos Vetores - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9 1.2 O Conceito de Vetor- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13 1.3 Operações com Vetores - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16 1.3.1 Adição de vetores- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 75 77 80 83 94 96 105 111 126 133 3 Vetores no Plano e no Espaco ¸ 3.1 Soma de Vetores e Multiplicacao por Escalar . . . . . . ¸˜ 3.2 Produtos de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Norma e Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 3.2.3 Produto Vetorial . . . .

transformam vetores em vetores. Em geral, se V e W são espaços vetoriais, uma função ou TRANSFORMAÇÃO T de V para W é uma regra que associa a todo vetor x em V um único vetor em W que é denotado por T(x). Se x é um vetor em V, então T(x) é chamada a IMAGEM de x sobre a transformação T. Por exemplo, se T é uma transformação do (3 para o (2 definida pela equação: T(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 + x3) Então T leva o vetor (1,1,1) no vetor T(1,1,1) = (2,2) e o vetor (3,2,0)…

que transformam vetores em vetores. Em geral, se V e W são espaços vetoriais, uma função ou TRANSFORMAÇÃO T de V para W é uma regra que associa a todo vetor x em V um único vetor em W que é denotado por T(x). Se x é um vetor em V, então T(x) é chamada a IMAGEM de x sobre a transformação T. Por exemplo, se T é uma transformação do 3 para o 2 definida pela equação: T(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 + x3) Então T leva o vetor (1,1,1) no vetor T(1,1,1) = (2,2) e o vetor (3,2,0) no vetor…

para o espaço e determine sua dimensão. Apresente uma base para o espaço vetorial . Qual a sua dimensão? -4) Quais são as coordenadas de em relação à base ? -3) Seja P o espaço de todos os polinômios de qualquer grau com coeficientes reais. Existe uma base finita para este espaço? Encontre uma base para P e justifique porque este espaço é dito de dimensão finita. -2) Mostre que os polinômios geram o espaço dos polinômios de grau . -1) Considere o subespaço do R4 gerado pelos…