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TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Introdução Estamos familiarizados com funções ordinárias tais como a função f definida pela equação f(x) = x2. Essa função transforma um número real em outro número real, no caso, no seu quadrado. Por exemplo, o número 2 é transformado em 4, isto é, f(2) = 4. Estudaremos agora funções que transformam vetores em vetores. Em geral, se V e W são espaços vetoriais, uma função ou TRANSFORMAÇÃO T de V para W é uma regra que associa a todo vetor x em V um único vetor em W que é denotado por T(x). Se x é um vetor em V, então T(x) é chamada a IMAGEM de x sobre a transformação T.
Por exemplo, se T é uma transformação do 3 para o 2 definida pela equação:
T(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 + x3)
Então T leva o vetor (1,1,1) no vetor T(1,1,1) = (2,2) e o vetor (3,2,0) no vetor T(3,2,0) = (5,2).

Definição Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação (ou aplicação) T: V  W é chamada de LINEAR se para todos os vetores x e y em V e para todo escalar ,
T(x + y) = T(x) + T(y)
T(x) =  T(x)

Uma transformação linear T: V  W preserva a adição e a multiplicação por escalar entre os vetores.
Usando-se as duas propriedades simultaneamente chegamos a uma terceira propriedade:
Sejam v1 e v2 vetores em V e 1 e 2 dois escalares, então:
T(1v1 + 2v2) = T(1v1) + T(2v2) = 1 T(v1) + 2 T(v2)
Diz-se que uma transformação linear satisfaz o princípio da superposição, que é essa terceira propriedade. Mas o princípio da superposição pode ser aplicado a n vetores em V e n escalares. Ora, mas isso é uma combinação linear. Logo, T preserva combinações lineares.

Exemplo 1: V =R e W = R
F : R  R u  u ou F(u) = u
F(u + v) = (u + v) = u + v = F(u) + F(v).
F(ku) = (ku) = ku = kF(u).
Então F é uma transformação linear.

Exemplo 2: Seja T a transformação dada por
T(x,y)= (x-y, x+y). T é linear?
Exemplo 3: F(u) = u2 é uma transformação linear?
Não, pois F(u + v) = (u + v)2 = u2 + 2vu + v2 =
F(u) + 2vu + F(v)  F(u) + F(v).

Exemplo