Equação da reta

01 - Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(3,2,1) e é simultaneamente ortogonal as retas r: x = 3 ; z = 1 e s: y = -2x + 1; z = -x - 3 Solução:- A reta r é paralela ao eixo dos y. O vetor paralelo a ela é u = (0, 1, 0). Escrevendo a forma paramétrica para s, temos: x = t; y = 1 – 2t e z = -3 - 1t. O vetor paralelo a esta reta é: v = (1, -2, -1). A reta ortogonal às duas tem o vetor paralelo perpendicular aos vetores que definem as direções destas duas. O vetor ortogonal a dois outros é igual ao produto vetorial destes dois. Calculando o produto vetorial u x v, temos: Calculando a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 2, 1) é tem vetor paralelo (-1, 0, -1) é: Escrevendo na forma paramétrica: x = 3 – t; y = 2; z = 1 – t. Resposta:- x = 3 – t; y = 2; z = 1 – t. Obs. As equações paramétricas podem ser escritas em diversas formas. | | 02 - Estabelecer as equações da reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal às retas: r: x/2 = y/-1 = (z - 3)/-2 e s: y = 3x - 1; z = -x + 4 Solução: Mesmo raciocínio anterior. Reta r: vetor paralelo: (2, -1, -2). Reta s: equações paramétricas: x = t, y = -1 + 3t, z = 4 – t vetor paralelo: (1, 3, -1) Equação da reta que passa pela origem (0, 0, 0) ==> x = 0 + 7t, y = 0 – t, z = 0 + 7t. Resposta: x = 0 + 7t, y = 0 – t, z = 0 + 7t. | | 03 - Determinar as equações paramétricas da reta que…

12) Determinar as equações das seguintes retas: a) Reta que passa por A(1, -2, 4) e é paralela ao eixo dos x. b) Reta que passa por B(3, 2, 1) e é perpendicular ao plano xOz. c) Reta que passa por A(2, 3, 4) e é ortogonal ao eixo dos x e dos y. d) Reta que passa por A(4, -1, 2) e tem a direção do vetor . e) Reta que passa pelos pontos M(2, -3, 4) e N(2, -1, 3). 13) Representar graficamente as retas cujas equações são: a) b) c) d) e) f) g) h) i) 14) Determinar o ângulo entre…

[1] A Reta A RETA (1) Equação Vetorial da Reta (equação vetorial de um segmento de reta) (2) Equações Paramétricas da Reta (3) Equações Simétricas da Reta (4) Equações Reduzidas da Reta (5) Equação Geral da Reta (6) Ângulo de duas retas: Caso Geral (I) Paralelismo entre duas retas (Retas Paralelas aos eixos coordenados) (II) Ortogonalidade de duas retas (7) Reta ortogonal a duas retas (8) Intersecção de duas retas (9) Posições relativas de duas retas: concorrentes, paralelas e reversas…

u e v têm a mesma direção e o mesmo sentido. 2 2 2  c) Se  = , u e v são ortogonais, isto é, uv . Neste caso, u  v  u  v . 2 d) O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor. Exemplo 1: Sabendo que o ângulo entre u e v é de 60º, determine o ângulo formado pelos vetores: a) u e  v b)  u e v c)  u e  v d) 2u e 3v Resposta: (a) e (b) 120º; (c) e (d) 60º. 2 VETORES NO ESPAÇO E NO PLANO 2.1 VETORES NO PLANO Consideremos dois vetores v1 e v 2 não paralelos, representados…

A Equação Paramétrica da Reta 1.Derivação da Equação Paramétrica da Reta no Espaço Considere um vetor no espaço. Este vetor determina uma direção no espaço, o que significa que existem infinitas retas paralelas no espaço que têm a mesma direção deste vetor. No entanto, dado um ponto no espaço, existe uma única reta passando por este ponto e que tem a mesma direção deste vetor. Queremos obter uma equação para representar a reta cuja direção é dada pelo vetor (chamado, por este…

Vetorial, Paramétricas e Geral. Posições relativas entre dois planos concorrentes; Posições relativas entre retas e plano. – Paralelos, coincidentes e EQUAÇÕES DA RETA A reta no R3 1.Equação vetorial da reta. Seja reta r aquela que passa pelo ponto A e tem direção de um vetor não nulo v P A P=(x,y,z) um ponto da retav r. Qual a condição vetorial para que os 3 pontos sejam colineares? EQUAÇÕES DA RETA 2.Equações Paramétricas 3.Equações…

Volume II: Vetores e Coordenadas Espaciais Jorge Delgado (IMUFF) Katia Frensel (IMUFF) Nedir do Espírito Santo (IMUFRJ) CEDERJ 2 Conteúdo 2 Vetores e coordenadas espaciais Coordenadas no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A distância no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vetores no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Colinearidade, coplanaridade e dependência linear . . . . . . . . . . Equações paramétricas…

Volume II: Vetores e Coordenadas Espaciais Jorge Delgado Katia Frensel Nedir do Espírito Santo (IMUFF) (IMUFF) (IMUFRJ) CEDERJ 2 Conteúdo 2 Vetores e coordenadas espaciais 7 Coordenadas no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 A distância no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Vetores no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Colinearidade, coplanaridade e dependência linear . . . . . . . . . . 43 Equações…

se escreve: → P ∈ r ⇐ existe t ∈ R tal que P = A + t AB . ⇒ Assim, a reta r é caracterizada pela equação → r : P = A + t AB ; t ∈ R que é chamada equação paramétrica da reta r com parâmetro t. Geometria Analítica - Capítulo 11 182 Equação paramétrica da reta em coordenadas Seja OXY Z um sistema de eixos ortogonais no espaço e considere os pontos A e B em coordenadas: A = (a, b, c) e B = (a , b , c ) Escrevendo o ponto P em coordenadas, P = (x, y, z), temos: P = (x,…

Resp: 4) Determinar , sabendo que são paralelos os vetores: a) e Resp: b) e Resp: c) e Resp: 5) Conhecendo-se , e calcular os escalares m,n e p sabendo que Resp: , e 6) Calcular , sabendo que são ortogonais os vetores: a) e Resp: b) e Resp: 7) Dados os pontos e e os vetores , e verificar se existem os números tais que…