Apostila de GA Retas

[1]

A Reta

A RETA
(1) Equação Vetorial da Reta (equação vetorial de um segmento de reta)
(2) Equações Paramétricas da Reta
(3) Equações Simétricas da Reta
(4) Equações Reduzidas da Reta
(5) Equação Geral da Reta
(6) Ângulo de duas retas: Caso Geral
(I) Paralelismo entre duas retas (Retas Paralelas aos eixos coordenados)
(II) Ortogonalidade de duas retas
(7) Reta ortogonal a duas retas
(8) Intersecção de duas retas
(9) Posições relativas de duas retas: concorrentes, paralelas e reversas
(i) Condição de paralelismo de duas retas
(ii) Condição de coplanaridade de duas retas
(iii) Condição para que duas retas sejam reversas
(iv) Condição de ortogonalidade de duas retas

Para determinar uma reta, é preciso um vetor e um ponto.
Outra Forma : dois pontos não coincidentes.

(1) Equação Vetorial da Reta r Seja r uma reta que passa pelo ponto A e que tem a direção de um vetor não nulo v . Para que P, um ponto qualquer do espaço, pertença à reta r é necessário e suficiente que os vetores AP = P – A e r r v ≠ 0 sejam linearmente dependentes (LD), isto é, é necessário e suficiente que exista um número r real t, tal que AP = t v .

Para cada ponto P de r tem-se um valor para t, e quando P descreve toda a reta no sentido do vetor r v , t varia em IR (conjunto dos números reais) de –∞ a +∞, fato esse que será denotado por t ∈ IR..
Assim a equação:

r
P = A + t v (t ∈ IR)

(1)

é denominada EQUAÇÃO VETORIAL da reta r e o valor real t é chamado de parâmetro.

Se a reta r for determinada por dois pontos distintos A e B, a direção de r será dada pela direção do vetor AB = B – A e a equação vetorial da reta r será
P = A + t (B – A) r (t ∈ IR)

Observação: O vetor v ou AB que dá a direção da reta r é chamado de vetor diretor.

(2)

[2]

A Reta

E xempl o 1 : A reta r

que passa pelo ponto A = (1, 2, –1) e tem a direção do vetor r v = (2, 3, 1), tem a equação vetorial dada por
(x, y, z) = (1, 2, –1) + t (2, 3, 1)

t ∈ IR

(x, y, z) = (1 + 2t, 2 + 3t, –1 + t)
(x, y, z) representa um