Retas e planos

Retas e Planos
Ana Cristina Silva Matos

Orientações para atividade em dupla da segunda unidade.
Vocês devem estudar os conteúdos abaixo e trazer resolvidos os exercícios da lista 2 (planos) e os exercícios desse material no dia da avaliação em dupla.
Assuntos que serão cobrados:
Equações: Vetorial, Paramétricas e Geral.
Posições

relativas

entre

dois

planos

concorrentes;
Posições relativas entre retas e plano.

–

Paralelos,

coincidentes

e

EQUAÇÕES DA RETA
A reta no R3
1.Equação vetorial da reta.
Seja reta r aquela que passa pelo ponto A e tem direção de um vetor não nulo v
P
A

P=(x,y,z) um ponto da retav r. Qual a condição vetorial para que os 3 pontos sejam colineares?

EQUAÇÕES DA RETA

2.Equações Paramétricas
3.Equações Simétricas
Das equações paramétricas da reta r temos que:  x  x1  ta

r :  y  y1  tb , t  R
 z  z  tc
1


a  0, b  0, c  0

EQUAÇÕES DA RETA
Equações Reduzidas
Considerando cada igualdade das equações simétricas da reta r em separado, e para a  0, b  0, c  0 temos que:

x  x1 y  y1 z  z1 r: 

a b c

EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
Seja A = (x1; y1; z1) um ponto pertencente a um plano 𝜋 e 𝑛 = (a, b, c), 𝑛 ≠ 0 um vetor normal
(ortogonal) ao plano. O plano 𝜋 pode ser definido como sendo o conjunto de todos os pontos P = (x; y; z) do espaço tais que o vetor AB é ortogonal a 𝑛.
O ponto P pertence a 𝜋 se, somente se: n . AP = 0

EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
a) Da forma com que definimos o plano 𝜋, vimos que ele fica perfeitamente identificado por um de seus pontos A e por um vetor normal n = (a; b; c) a 𝜋 , com a, b e c não simultaneamente nulos. Qualquer vetor K.n, K≠ 0, é também vetor normal ao plano.
b) Sendo n um vetor ortogonal ao plano 𝜋 , ele será ortogonal a qualquer vetor representado neste plano. Em particular, se v1 e v2 são vetores não colineares, e paralelos ao plano, em virtude de n ser ortogonal, ao mesmo tempo,
a