Seja F X X 2

Ensino Superior Cálculo 2 1 Integral Indefinida Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Derivada e Antiderivada Derivada e Antiderivada y s Q(x2,y2) y2 y1 y P(x1,y1) x x1 x2 x O coeficiente angular da reta s é dado por: y2  y1 y tg  x2  x1  x Derivada e Antiderivada  A reta Tangente     Mantenha P fixo e faça Q se mover no sentido anti-horário sobre a curva em direção a P. Perceba que a inclinação da reta s irá variar. A medida que Q vai se…

contendo p tal que, para todo x, x ⑀ I Þ pn Ϫ ␧ Ͻ xn Ͻ pn ϩ ␧. 1.º Caso. n ímpar. Sendo n ímpar, temos: pn Ϫ ␧ Ͻ x n Ͻ pn ϩ ␧ Û n ] pn Ϫ ␧ Ͻ x Ͻ n pn ϩ ␧ . [ Tomando-se I ϭ n p n Ϫ ␧ , n p n ϩ ␧ , tem-se, para todo x, x ⑀ I Þ pn Ϫ ␧ Ͻ xn Ͻ pn ϩ ␧. Logo, f(x) ϭ xn é contínua em todo p real, ou seja, f é uma função contínua. 2.º Caso. n par. Analisemos inicialmente o caso p ϭ 0. Para todo ␧ Ͼ 0 dado, temos 0n Ϫ ␧ Ͻ xn Ͻ 0n ϩ ␧ Û |x| Ͻ n ␧ Û Ϫ n ␧ Ͻ x Ͻ n ␧ . ]…

uma ”lei f” que associa a cada valor de uma variável x, um único valor de uma variável y, pela lei f. Neste caso x é chamada variável independente e y a variável dependente. Representa-se y = f (x) ou de forma mais detalhada escrevemos: f :A→ B x |→ y = f(x) O conjunto A é o domínio da função f e indicamos A = D ( f ) e o conjunto B o contra-domínio da função f. Quando não se faz menção ao domínio da função fica subentendido que é o maior subconjunto dos reais onde a expressão (lei…

Pr✐♠❡✐r♦ ●r❛✉ ❋✉♥çã♦ ❞♦ ♣r✐♠❡✐r♦ ❣r❛✉ f (x) = ax + b ❝♦♠ a, b ∈ R, a = 0 ❋✉♥çã♦ ❞♦ ❙❡❣✉♥❞♦ ●r❛✉ ❋✉♥çã♦ ❞♦ s❡❣✉♥❞♦ ❣r❛✉ f (x) = ax2 +bx+c ❝♦♠ a, b, c ∈ R, a = 0. ❖ ❣rá✜❝♦ é ✉♠❛ ♣❛rá❜♦❧❛✱ ♣♦ré♠ s❡✉ ♣♦s✐❝✐♦♥❛♠❡♥t♦ ❞❡♣❡♥❞❡ ❞❛ q✉❛♥t✐❞❛❞❡ ❞❡ r❛í③❡s✳ ❋✐❣✉r❛ ✶✳✶✿ ❉✉❛s r❛í③❡s r❡❛✐s ❡ ❞✐st✐♥t❛s ✸ ✶✳✷✳ ❯♥✐✈❡rs✐❞❛❞❡ ❆♥❤❡♠❜✐ ▼♦r✉♠❜✐ ❋❯◆➬➹❖ ❊❳P❖◆❊◆❈■❆▲ ❋✐❣✉r❛ ✶✳✷✿ ❯♠❛ r❛✐③ r❡❛❧ ❋✐❣✉r❛ ✶✳✸✿ ◆ã♦ ❍á r❛í③❡s r❡❛✐s ✶✳✷ ❋✉♥çã♦ ❊①♣♦♥❡♥❝✐❛❧ ❋✉♥çã♦ ❊①♣♦♥❡♥❝✐❛❧ ❝♦♠ ❢♦r♠❛t♦ f (x) = ax ❝♦♠ a > 1 ♦✉…

potência de x, trigonométrica 2ª Lista de Exercícios de Derivadas 1) Encontre a equação da reta tangente às curvas abaixo, nos pontos indicados: a) y = 2 x − 3 x 2 P(1, -1) b) y = 2 x 2 − 2 x 5 d) y = 2 x 2 − x3 3 P( 1, 0) P(3, 9) P(2, 4) c) y = 2 − 3 x 2 − 4 x 3 P(-1, -5) 1 x e) y = P(4, 1/2) P(16,2) f) y = x 4 − 3x 2 h) y = x − x g) y = 4 x P(4, 2) 2) Ache os pontos sobre as curvas abaixo, em que a tangente é horizontal a) y = x 3 − 6 x 2 +9 x − 5 b) y = 2 x 3 − 6…

conjunto aberto e f : A −→ R uma função. 1. A derivada parcial de f em relação à variável x, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂x f (x + t, y, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂x t se o limite existe. 2. A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂y f (x, y + t, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂y t se o limite existe. 3. A derivada parcial de f…

nos pontos indicados. a) f(x) = x2 – 3x + 6; x = 2. 1 b) f(x) = 2 ; x = 3. x c) f(x) = 2 x ; x = a, a > 0. 02) Em cada um dos itens do exercício anterior, determine a equação da reta normal à curva, nos pontos indicados. 03) Determinar a equação da reta tangente à curva y = 1 – x2 , que seja paralela à reta y = 1 – x. 04) Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva y = x2 – 2x + 1 no ponto (-2 , 9). 05) Achar o ponto da parábola y  ( x  1) 2 no qual a reta…

produtos: A)(3x + 2)² B) (3a² - 2)² C) y3-32.y3+32 EXEMPLO 05 Encontre o conjunto solução de cada uma das seguintes equações: A) x+3x=3 B) x-35+3x+72=3 C) x+2x-2+3x-4x-4=4 EXEMPLO 06 Se o par (x, y) é a solução do seguinte sistema de equações, determine o valor de x + y: 3x-2y=-12x+5y=12 EXEMPLO 07 Determine, em IR, o conjunto solução das seguintes equações do 2º grau: (A) x² - 4x – 5 = 0 (B) 6x² - x – 5 = 0 (C)…

Intervalos . . . 1.6.2 Propriedade Arquimediana de R ´ 1.7 Conjuntos Contaveis . . . . . . . . . . 1.8 Exerc´cios do Cap´tulo 1 . . . . . . . . ı ı ¨ˆ ´ 2 Sequencias Numericas 2.1 Introducao . . . . . . . . . . . ¸˜ ¨ˆ ´ 2.2 Sequencias de Numeros Reais ¨ˆ 2.3 Limite de Uma Sequencia . . . ¨ˆ 2.4 Sequencias de Cauchy . . . . 2.5 Exerc´cios do Cap´tulo 2 . . . ı ı 2 4 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12 14 18 19 26…

exercícios da Ficha 2 (2010/2011) Estas soluções carecem das respectivas justificações √√ √√ √√ 2, 2[; ext(A) = R\[− 2, 2]; f r (A) = {− 2, 2} b) int(B ) =]1, +∞[; 5 5 ext(B ) =] − ∞, 1[\{1}; f r (B ) = {0, 1} c) int(C ) =] − ∞, −1[∪] , +∞[; ext(C ) =] − 1, [; f r (C ) = 2 2 5 {−1, }. 2 75 75 2. a) A = [ , ]; A = [ , ]; aberto; não fechado b) B =] − ∞, −4]; B =] − ∞, −4]; não 62 62 1 1 10 aberto; fechado c) C =] − ∞, ]; C =] − ∞, ]; aberto; não fechado d) D =] − ∞, −10] ∪ [− , +∞[; 2 2 3…