Resolucao Calculo
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CAPÍTULO 3Exercícios 3.2
3. Seja p um real dado. Precisamos provar que dado Ͼ 0, existe um intervalo aberto I contendo p tal que, para todo x, x ⑀ I Þ pn Ϫ Ͻ xn Ͻ pn ϩ .
1.º Caso. n ímpar.
Sendo n ímpar, temos: pn Ϫ Ͻ x n Ͻ pn ϩ Û
n
]
pn Ϫ Ͻ x Ͻ n pn ϩ .
[
Tomando-se I ϭ n p n Ϫ , n p n ϩ , tem-se, para todo x, x ⑀ I Þ pn Ϫ Ͻ xn Ͻ pn ϩ .
Logo, f(x) ϭ xn é contínua em todo p real, ou seja, f é uma função contínua.
2.º Caso. n par.
Analisemos inicialmente o caso p ϭ 0. Para todo Ͼ 0 dado, temos
0n Ϫ Ͻ xn Ͻ 0n ϩ Û |x| Ͻ n Û Ϫ n Ͻ x Ͻ n .
]
Tomando-se, então, I ϭ Ϫ n , n
[ tem-se x ⑀ I Þ 0n Ϫ Ͻ xn Ͻ 0n ϩ .
Logo, f(x) ϭ xn é contínua em p ϭ 0.
Suponhamos, agora, p 0. Para todo Ͼ 0, com Ͻ pn, temos pn Ϫ Ͻ x n Ͻ pn ϩ Û
n
]
pn Ϫ Ͻ | x | Ͻ n pn ϩ .
[
Se p Ͼ 0, tomando-se I ϭ n p n Ϫ , n p n ϩ , tem-se x ⑀ I Þ pn Ϫ Ͻ xn Ͻ pn ϩ .
]
[
Se p Ͻ 0, tomando-se I ϭ Ϫ n p n ϩ , Ϫ n p n Ϫ , tem-se x ⑀ I Þ pn Ϫ Ͻ xn Ͻ pn ϩ . n Logo, f(x) ϭ x é contínua em todo p
0.
4. 1.º Caso. n ímpar.
Para todo Ͼ 0 dado, tem-se
(n p Ϫ ) Ͻ x Ͻ (n p ϩ ) . n n
Tomando-se I ϭ ù(n p Ϫ ) , (n p ϩ ) é tem-se ú ê û ë n p Ϫ Ͻ
x ÎI Þ
n
n
x Ͻ
n
p ϩ Û
p Ϫ Ͻ n x Ͻ n p ϩ .
n
n
2.º Caso. n par.
Neste caso a função f(x) ϭ n x está definida apenas para x у 0. Para todo Ͼ 0,
0 р x Ͻ n Þ n x Ͻ e .
Logo, f(x) ϭ n x é contínua em p ϭ 0. Suponhamos, agora, p Ͼ 0; para todo Ͼ 0, com e Ͻ n p , tem-se n p Ϫe Ͻn x Ͻn p ϩe Û
Tomando-se I ϭ ù ú x ÎI Û
n
(
(n p Ϫ e )
) (
n
ϽxϽ
(n p ϩ e ) . n )
n n n p Ϫ e , n p ϩ e é, tem-se ê û ë p Ϫ e Ͻ n x Ͻ n p ϩ e.
Logo, f(x) ϭ
n
x é contínua em todo p Ͼ 0.
7. Função maior inteiro (veja Exercício 9).
10. f(x) ϭ x(x2 Ϫ 1) se x for racional e f(x) ϭ Ϫ x(x2 Ϫ 1) se x for irracional.
16. Para todo Ͼ 0 dado, tomando-se ␦ ϭ e tem-se