1 Prova de Calculo com resolucao

DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I
CURSO:
PROFESSOR:
ALUNO(A):

PERÍODO: 2013.2
TURNO: MANHÃ
DATA: 09/12/2013
NOTA:

AVALIAÇÃO 1

1. (3,0) Considere a função dada por

se x < −1
 2,
2
x , se −1 ≤ x ≤ 01 . f(x) =
√
x, se x ≥ 0
(a) Esboce o gráfico da função f;
(b) Determine o domínio e a imagem da função;
(c) f é contínua em x = −1? E na origem?
2
2. (1,0) Dadas
√ as funções f e g definidas por f(x) = (x − 2) para x ≥ 2 e g(x) = x + 2 para x ≥ 0 determine f ◦ g e g ◦ f. O que podemos afirmar sobre as funções f e g?

3. (3,0) Calcule, caso existam, os limites dados a seguir:
√
4 − 3x − x 4 x 3 − x 2 − 4x + 4
(b)
lim
(a) lim x→1 x→1 x 3/2 + 1 x3 − 1 x +2 x (c) lim √
(d) lim x→−2 x→0 cos x sen 2x x2 + 5 − 3
|x| cos x existe? Justifique sua resposta. x→0 x

4. (1,0) O limite lim

5. (2,0) Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais do x2 − 4 gráfico da função f(x) = 2
.
x − 3x + 2
BOA PROVA!!!

RESPOSTAS DA AVALIAÇÃO 1

1. (a) (0,5)

(b) (0,5) O domínio da função é o conjunto D(f) = R e a imagem é o conjunto Im(f) = [0, +∞).
(c) (1,0) É fácil ver analisando o gráfico que f é descontínua em x = −1 e contínua em x = 0.
2. (1,0) Temos
√
√
√
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f( x + 2) = ( x + 2 − 2)2 = ( x)2 = x se x ≥ 2 e
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g((x − 2)2 ) = (x − 2)2 + 2
= |x − 2| + 2 = x − 2 + 2 = x se x ≥ 2. Logo, quando x ≥ 2 as funções f e g são inversas uma da outra. 3. (4,0)
(a) (1,0) Temos
√
lim

x→1

4 − 3x − x 4
=
x 3/2 + 1

√

4−3·1−1
0
=
= 0.
13/2 + 1
2

(b) (1,0) Neste caso temos uma indeterminação do tipo 0/0. Fazendo a divisão de x 3 − x 2 − 4x + 4 por x − 1 e de x 3 − 1 por x − 1 obtemos as fatorações x 3 − x 2 − 4x + 4 = (x − 1)(x 2 − 4) e x 3 − 1 = (x − 1)(x 2 + x + 1).
2

Logo
(x − 1)(x 2 − 4) x2 − 4 x 3 − x 2 − 4x + 4
=
lim
=
lim x→1 (x − 1)(x 2 + x + 1) x→1 x 2 + x + 1 x→1 x3 − 1
12 − 4
= 2
= −1.
1 +1+1 lim (c) (1,0) Neste caso temos uma indeterminação do tipo 0/0. Fazendo uma racionalização obtemos
√
x +2 x +2 x2 + 5 + 3
= lim