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Capítulo 5

DERIVADAS PARCIAIS
5.1 Introdução
Definição 5.1. Sejam A ⊂ R3 um conjunto aberto e f : A −→ R uma função.
1. A derivada parcial de f em relação à variável x, no ponto (x, y, z) ∈ A é
∂f
(x, y, z) e definida por: denotada por
∂x
f (x + t, y, z) − f (x, y, z)
∂f
(x, y, z) = lim t−→0 ∂x t se o limite existe.
2. A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x, y, z) ∈ A é
∂f
(x, y, z) e definida por: denotada por
∂y
f (x, y + t, z) − f (x, y, z)
∂f
(x, y, z) = lim t−→0 ∂y t se o limite existe.
3. A derivada parcial de f em relação à variável z, no ponto (x, y, z) ∈ A é
∂f
(x, y, z) e definida por: denotada por
∂z
f (x, y, z + t) − f (x, y, z)
∂f
(x, y, z) = lim t−→0 ∂z t se o limite existe.
De forma análoga são definidas as derivadas parciais para funções de duas variáveis. Observe que o conjunto A deve ser aberto, pois para todo x ∈ A é necessário que x + t ei ∈ A, onde i = 1, 2, 3; o que é verdadeiro se |t| < η (η > 0 pequeno).
Veja a bibliografia.

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CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

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Exemplo 5.1.

[1] Se z = f (x, y) = x y, calcule suas derivadas parciais.
Estamos no caso n = 2:
∂f
f (x + t, y) − f (x, y)
(x + t) y − x y ty (x, y) = lim
= lim
= lim
= y, t−→0 t−→0 t−→0 t
∂x
t t f (x, t + y) − f (x, y) x (t + y) − x y tx ∂f
(x, y) = lim
= lim
= lim
= x. t−→0 t−→0 t−→0 t
∂y
t t [2] Se w = f (x, y, z) = x2 y z 2 , calcule suas derivadas parciais.
Estamos no caso n = 3:
∂f
f (x + t, y, z) − f (x, y, z)
(x + t)2 y z 2 − x2 y z 2
(x, y, z) = lim
= lim t−→0 t−→0
∂x
t t 2 x y z 2 t + t2 yz 2
= 2 x y z2,
= lim t−→0 t
∂f
f (x, t + y, z) − f (x, y, z) x2 (t + y) z 2 − x2 y z 2
(x, y, z) = lim
= lim t−→0 t−→0
∂y
t t 2 z2 tx = lim
= x2 z 2 , t−→0 t f (x, y, t + z) − f (x, y, z) x2 y (t + z)2 − x2 y z 2
∂f
(x, y, z) = lim
= lim t−→0 t−→0
∂z
t t t2 x2 y + 2 t x2 y z
= 2 x2 y z.
= lim t−→0 t
Observação 5.1.
Seja y = c, fixado e