calculo II

Ensino Superior

Cálculo 2
1 Integral Indefinida
Conceitos e Propriedades
Amintas Paiva Afonso

Derivada e Antiderivada

Derivada e Antiderivada y s

Q(x2,y2)

y2 y1 y

P(x1,y1)

x

x1

x2

x

O coeficiente angular da reta s é dado por: y2  y1 y

tg 

x2  x1



x

Derivada e Antiderivada


A reta Tangente








Mantenha P fixo e faça Q se mover no sentido anti-horário sobre a curva em direção a P.
Perceba que a inclinação da reta s irá variar.
A medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclinação da secante tende para um valor limite.
Esse valor limite, é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P.

Derivada e Antiderivada

y

y1= y2

P(x1,y1)= Q(x2,y2)

x1= x2

x

Derivada e Antiderivada


Definição: Dada uma curva y = f(x), seja P(x1, y1) um ponto

sobre ela. A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por:

y f ( x2 )  f ( x1 ) m( x1 )  lim
 lim
Q  P x x2  x1 x2  x1

x 2  x1  x

Quando o limite existe. Fazendo escrever a equação acima como:


f ( x1  x)  f ( x1 ) m( x1 )  lim
x  0
x

, podemos

Derivada e Antiderivada


Exemplo:
Encontre a inclinação da reta tangente à curva y x 2  2 x 1 no ponto (x1, y1).




Se

f ( x)  x 2  2 x  1, então
2

f ( x1 )  x1  2 x1  1, e
2

f ( x1  x) ( x1  x) 2  2( x1  x)  1  x1  2 x1x  (x) 2  2 x1  2x  1

Derivada e Antiderivada


Exemplo:


Usando a definição de coeficiente angular de uma reta, temos: m( x1 )  lim

x  0

f ( x1  x)  f ( x1 )
x

2

2

x1  2 x1x  (x) 2  2 x1  2x  1  ( x1  2 x1  1) m( x1 )  lim
x  0
x
2 x1x  (x) 2  2x m( x1 )  lim
x  0
x
x(2 x1  x  2)
2 x1  2
x  0
x

m( x1 )  lim

Derivada e Antiderivada



A reta Tangente
Portanto, a inclinação da reta tangente à curva y x 2  2 x 1 no ponto (x1, y1) é m(x1) = 2x1 - 2.


Derivada e Antiderivada


Derivada de uma função num ponto


A derivada de uma função f(x) no ponto x1, simbolicamente designada por f