Funções de duas variáveis

FAAP – FACULDADE DE ENGENHARIA

Matemática III - Funções de duas variáveis CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
INTRODUÇÃO Em Cálculo I, foi realizado um estudo das funções de uma variável real. No Mat. I e II Recordemos que uma função de uma variável é uma ”lei f” que associa a cada valor de uma variável x, um único valor de uma variável y, pela lei f. Neste caso x é chamada variável independente e y a variável dependente. Representa-se y = f (x) ou de forma mais detalhada escrevemos: f :A→ B x |→ y = f(x)

O conjunto A é o domínio da função f e indicamos A = D ( f ) e o conjunto B o contra-domínio da função f. Quando não se faz menção ao domínio da função fica subentendido que é o maior subconjunto dos reais onde a expressão (lei f) faz sentido.

Alguns exemplos de funções de uma variável: 1) A área de um círculo é função de seu raio, y = f (r ) = πr 2 . 2) A pressão p , de uma certa massa gasosa, que se expande isotermicamente k (temperatura constante), depende somente, do seu volume v , p = ; k = cte v Entretanto, freqüentemente, temos situações em que uma grandeza depende simultaneamente, de várias variáveis. Por exemplo: a) A área A de um retângulo de lados x e y depende dos valores de x e y, A = xy . b) A pressão P é função do volume V e da temperatura T , P = nR
T ; n, R = cte . V

FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Se uma variável z , depende de duas outras, x e y , de modo que a cada par ordenado ( x , y ) , está associado um único valor para z , temos uma função de duas variáveis z = f ( x, y ) .

EXEMPLOS a) z = 1 + x 2 + y 2 b) z = 9 - x 2 - y 2 Código da Disciplina: 1EB212 – CÁLCULO II 1

FAAP – FACULDADE DE ENGENHARIA Podemos utilizar a representação: f : D ⊂ R2 → R (x, y ) a z = f (x, y )

onde R 2 = { ( x, y ) / x, y ∈ R }

DOMÍNIO Quando definimos f :D ⊂ R2 → R

função z = f ( x, y ) . A menos, que o domínio D, seja dado explicitamente, convencionaremos que ele é o conjunto mais “amplo” possível de pares ordenados (x, y ) para os quais