Seja F X X 2

Módulo 2 Cálculo Integral Função primitiva de derivada é, dada a derivada, vamos encontrar ou determinar uma derivação e as derivadas de várias funções, estudadas no Capítulo 5, para determinar as primitivas. O que acabamos Nesta unidade, passaremos a nos preocupar com o teorema mais importante do cálculo diferencial, que é o Teorema Fundamental do Cálculo. É importante temática antes de prosseguir seus estudos. Não esqueça conte com o Sistema de auxiliar-lo nas…

nosso agradecimento. ca Maputo, Junho 2001 O autor 2 3 M. J. Alves “Elementos de An´lise Matem´tica. Parte I” a a Boris Pavlovitch Demidovitch (1906–1977) — matem´tico russo a 3 M´dulo 1 o Continuidade e continuidade uniforme 1.1 Resumo te´rico o Seja E ⊂ R1 , a ∈ E, E ´ um conjunto aberto. A fun¸ao f : E → R1 ´ cont´ e c˜ e ınua no ponto a se f (x) est´ definida numa vizinhan¸a de a e lim f (x) = f (a). Diremos que a fun¸˜o f (x) ´ a c ca e cont´ ınua, no ponto a,…

a) f ( x ) = 3 x 2 + 5 x − 2; f (0); f (− 2 ); f (1) 1 b) g (x ) = x + ; g (− 1); g (1); g (2 ) x c) h (x ) = x 2 + 2 x + 4 ; h (2 ); h (0 ); h (− 4 ) d) f (x ) = (2 x − 1) 2 ; f (1); f (5); f (13) e) f ( x ) = x − x − 2 ; f (1); f (2 ); f (3) −3 − 2 x + 4, se x ≤ 1 ; h (3); h (1); h (0 ); h (− 3) f) h (x ) =  2  x + 1, se x > 1 2ª)Determine o domínio das funções abaixo: x +1 x2 − 1 a) f (x ) = b) f (x ) = 1 − x c) f (x ) = x 3 − 3x…

1 NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E REAIS O conjunto dos números naturais é formado pelos números 0, 1, 2, 3, ... Podemos representar este conjunto da forma: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. Os números naturais são um subconjunto dos números inteiros. O conjunto dos números inteiros é representado por: Z = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ....}. Os números inteiros, por sua vez, são subconjunto dos números racionais, que são formados tomando-se razões de inteiros (evitando-se a…

EXPONENCIAIS  1 SOLUÇÕES 1. f (x) = x2 – 10x + 100  f ¢(x) = 2x – 10 2. g(x) = x100 + 50x + 1  g¢(x) = 100x99 + 50 3. s(t) = t 3 – 3t 2 + 12t 14. f (x) = x2 + 2ex  f ¢(x) = 2x + 2ex. Observe que f ¢(x) = 0 quando f tem uma tangente horizontal, f ¢ é positiva quando f é crescente, e f ¢ é negativa quando f é decrescente.  s¢(t) = 3t 3 –1 – 3 (2t 2–1) + 12 = 3t 2 – 6t + 12 4. F (x) = (16x)3 = 4 096x3  F ¢(x) = 4 096 (3x2) = 12 288x2 5. H ( s ) = ( s /2)5 = s5 /25 =…

Uma função F(x) é chamada uma primitiva ou antiderivada da função f(x) em um intervalo I, se para todo x  I, tem-se F’(x) = f(x). EXEMPLOS: d) F(x)  ex é uma primitiva da função a) F(x)  x 4 é uma primitiva da função f(x)  ex , pois F'(x)  (ex )'  ex . f(x)  4x3 , pois F'(x)  (x 4 )'  4x3 . e) F(x)  ln|x| é uma primitiva da função b) F(x)  senx é uma primitiva da função a f(x)  cosx, pois F'(x)  (senx)'  cosx. 1 1 f(x)  , pois F'(x)  (ln|x|)'  . x x c) F(x)  cosx é uma

Determine todos os n´meros reais x que satisfazem as desigualdades abaixo: u 2 3 (a) 10x < 18 + 4x (d) − 4 < − 8 (g) 2x ≥ 3x2 − 16 x x 5 1−x (b) 2 ≤ 5 − 3x < 11 (e) ≥2 (h) 0 < −2 9x − 4 3x − 2 (k) y = ln x, sendo ln x = loge x 1   |x| , se x = 0 . Calcule: 7. Seja f uma fun¸ao definida por f (x) = c˜ x  1, se x = 0 (a) f (−4) (c) f (x2 ) (e) f (0) (g) f (a − 1) (b) f (4) (d) f (−x2 ) (f) f (f (2)) (h) f (f (x)) 8.…

C´lculo Num´rico a e Zero de Fun¸ao c˜ 1. Dˆ um exemplo de fun¸ao f (x), que tenha pelo menos uma raiz, que n˜o pode e c˜ a ser determinada usando o M´todo da Bisse¸˜o. e ca 2. Dˆ um exemplo de fun¸ao f (x), que tenha pelo menos uma raiz, onde o M´todo e c˜ e de Newton-Raphson n˜o converge. a 3. A equa¸ao x2 − 7x + 12 = 0 tem 3 e 4 como ra´ c˜ ızes. Considere a fun¸ao de c˜ 2 itera¸˜o dada por ϕ(x) = x − 6x + 12. Determine o intervalo (a, b), onde ca para…

 {x  N / 1  x  4} B  {x  Z * /  3  x  3} C  {x  Z  / 0  x  5} D  {x  N * / 3x  2  10} E  {x  Z  / x  3} 2. Determine, enumerando seus elementos, os seguintes conjuntos: M  {x  R /  2 x 2  9 x  5  0} 1  a  2} a P  { y  R /( y  1)( y  2)( y  3)  0} N  {a  R / 3. Sendo f ( x)  x 2  x  6 , calcule: a) f (1) b) f (1) c) f (0) d) f (3)  4   5 f (2)  f (2)   3. f (4)  e) f    f)   4. Determine o domínio das funções: x x5 x2 b) f ( x

Função Afim Definição: Uma função f: IR → IR (f de IR em IR) chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tal que f(x) = ax + b, para todo x є IR. Exemplos: 1) f(x) = 2x + 1 (a = 2, b = 1) 2) f(x) = -x + 4 (a = -1, b = 4) 1 1 3) f(x) = x + 5 (a = , b = 5) 3 3 4) f(x) = 4x (a = 4, b = 0) Valor de uma função afim Na função afim f(x) = 5x + 1, podemos determinar: f(1) = 5 • 1 +1 = 5 + 1 = 6. Logo, f(1) = 6. f(-3)=5(-3) + 1 = -15 + 1 = -14. Logo, f(-3) = -14.…