Calculo numerico

Exerc´ ıcios de C´lculo Num´rico a e
Zero de Fun¸ao c˜ 1. Dˆ um exemplo de fun¸ao f (x), que tenha pelo menos uma raiz, que n˜o pode e c˜ a ser determinada usando o M´todo da Bisse¸˜o. e ca
2. Dˆ um exemplo de fun¸ao f (x), que tenha pelo menos uma raiz, onde o M´todo e c˜ e de Newton-Raphson n˜o converge. a 3. A equa¸ao x2 − 7x + 12 = 0 tem 3 e 4 como ra´ c˜ ızes. Considere a fun¸ao de c˜ 2 itera¸˜o dada por ϕ(x) = x − 6x + 12. Determine o intervalo (a, b), onde ca para qualquer que seja x0 escolhido a sequˆncia xn+1 = ϕ(xn ) converge para a e raiz x = 3. Mostre que a convergˆncia ´ quadr´tica. e e a 4. Para determinar a raiz quadrada de um n´mero c ≥ 0, basta resolver a equa¸˜o u ca
2
´ poss´ determinar sua raiz quadrada usando a fun¸ao de itera¸˜o x −c = 0. E ıvel c˜ ca ϕ(x) = c/x. Justifique a resposta.
5. As fun¸oes de itera¸oes ϕ1 (x) = x2 /2 − 2x + 4 e ϕ2 (x) = x2 /2 − 2.5x + 5, geram c˜ c˜ sequˆncias convergentes para a raiz x = 2, para qualquer aproxima¸˜o inicial e ca x0 ∈ (1.5, 3). Qual das duas fun¸oes geram sequˆncias mais rapidamente c˜ e convergente para esta raiz. Justifique a resposta.
6. Determine um intervalo (a, b) e uma fun¸˜o de itera¸˜o ϕ(x) associada, de tal ca ca forma que ∀x0 ∈ (a, b) a fun¸ao de itera¸ao gere uma sequˆncia convergente c˜ c˜ e para a(s) raiz(es) de cada uma das fun¸˜es abaixo, usando o m´todo iterativo co e
−3
linear (MIL) com tolerˆncia ≤ 1.10 . a √
(a) f1 (x) = x − e−x
(b) f2 (x) = ln(x) − x + 2
(c) f3 (x) = ex/2 − x3
(d) f4 (x) = sen(x) − x2
(e) f5 (x) = x/4 − cos(x)
7. Determine a(s) raiz(es) da fun¸ao f1 (x), usando o m´todo da Bisse¸ao, M´todo c˜ e c˜ e da Falsa posi¸ao e da Falsa posi¸ao modificada com tolerˆncia ε = 1.10−3 . c˜ c˜ a Quantas itera¸˜es foram necess´rias para cada um dos m´todos. co a e ızes ıcio e
8. Determine as ra´ do exerc´ (6), usando o M´todo de Newton-Raphson.
9. Determine as ra´ do exerc´ (6), usando o M´todo