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Reta tangente Sabemos que a velocidade média pode ser obtida pela razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto para percorrê-lo. De um modo mais prático, Observe na figura acima que a velocidade média pode ser obtida através do valor do coeficiente angular da reta secante, ou seja, A velocidade média envolve uma variação de tempo. Se reduzíssemos essa variação a uma fração muito pequena, digamos tendendo a zero, obteríamos o que chamamos de velocidade instantânea. Matematicamente podemos definir a velocidade instantânea como Nesse caso, a velocidade instantânea é dada pelo coeficiente angular da reta tangente. Exemplo: Encontre uma equação para a reta tangente à parábola y = x2 no ponto (1, 1). Taxa de variação média e instantânea Exemplo: Um projétil é lançado do solo. Desprezando-se a resistência do ar e o cano da arma, e admitindo-se conhecida a aceleração da gravidade, calculou-se a função que relaciona o espaço, em metros, e o tempo, em segundos, representada pela igualdade h = 80t – 4t2. Nessas condições, determine: a) A velocidade vertical do projétil após 5s do seu lançamento. b) A velocidade vertical do projétil após 10s do seu lançamento. c) A velocidade no exato instante que o projétil toca o solo. d) A velocidade vertical num instante t qualquer. Observação: A velocidade pode ser vista como uma taxa de variação, mais precisamente, a taxa de variação da posição em relação ao tempo.

exponenciais e trigonométricas a partir de uma função polinomial. 2 REFERENCIAL TEÓRICO 2.1 Série de Taylor Seja “f” uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo “a” como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por “f” em “x = a” é: A soma dos n+1 primeiros termos do membro direito da equação acima é denominado de Polinômio de Taylor (Px (n)) de grau “n” de “f” no ponto “a”, ou seja:…

Capítulo 4 – Derivadas Parciais 1. Conceitos Sabe-se que dois problemas estão relacionados com derivadas: Problema I: Taxas de variação da função. Problema II: Coeficiente angular de reta tangente. Seja uma função a uma variável. A taxa de variação instantânea de em relação a quando e o coeficiente angular ( da reta tangente ao , onde gráfico no ponto são problemas resolvidos pelo cálculo do mesmo limite: Ž‹ Ž‹ Este limite recebe a terminologia especial de DERIVADA. uma função à…

8. Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia) Regra da Cadeia (primeira notação): Se e são funções diferenciáveis e é a função composta definida por , então é diferenciável e ′ é dada por Regra da Cadeia (segunda notação): Sejam Então e duas funções diferenciáveis. e a derivada de em relação a é dada por Observação: Ao usarmos a fórmula da segunda notação devemos ter em mente que se refere à derivada de quando é considerado como uma função de (derivada de em relação a ).…

Integral I a Quarta lista de Exerccios Prof. Ricardo Coelho 27/03/2011 1) Esbo¸e o gr´fico de cada uma das fun¸oes f , que satisfa¸am a todas as condi¸oes dadas: c a c˜ c c˜ a) f (0) = 0, f (1) = 1, b) lim f (x) = ∞, + x→0 x→2 x→0− x→∞ x→∞ lim f (x) = 0, f ´ ´ e ımpar x→∞ lim f (x) = −∞, lim f (x) = 1, x→−∞ lim f (x) = 1 x→0 c) lim f (x) = −∞, lim f (x) = ∞, d) lim f (x) = ∞, x→−2 x→−∞ x→−∞ x→∞ lim f (x) = 0, lim f (x) = ∞, lim f (x) = −∞ + − x→0 lim f…

Engenharia de Produção CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I DERIVADA Professora: Pricilla Cerqueira 2014/2 1- Introdução Neste curso estaremos estudando o cálculo diferencial e o cálculo integral. A idéia básica do cálculo diferencial é o “problema da tangente”, ou seja, destina-se a calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto P. y P q x Já no cálculo…

© y= 2-x²/3x² +1 (d) y=(2x + 5)³(x+ 1)² (e) f(x)= √ x²+ 1 (f) f(x) =(5x4 -3x² + 2x +1)10 (g)Y=(x+ 1/x)² -5/ √ 3x (h)y =(x+1/ 1-x)² (i)y= (3x +1)³ / (1-3x)4 (j) y = √ 1-2x/3x+2 2. Encontre a equação da reta que é tangente ao gráfico de f no ponto (x, f(x)) para. O dado valor de x: a) f(x) = x² – 3x + 2; x = 1 (b) f(x)= 4/x-3; x=1 © f(X)= x/ x²+1; x=0 Falsa 3. Em cada caso, encontre a taxa de variação de f(t) em relação a t para o valor. Dado…

2 Limites e Derivadas Copyright © Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 2.8 A Derivada como uma Função Copyright © Cengage Learning. Todos os direitos reservados. A Derivada como uma Função Na seção precedente consideramos a derivada de uma função f em um número fixo a: Aqui mudamos nosso ponto de vista e deixamos o número a variar. Se substituirmos a na Equação 1 por uma variável x, obtemos 3 A Derivada como uma Função Dado qualquer número x para o qual esse limite…

4) udv + (v + uv – euu) du = 0 5) t5y(4) – t3y’’ + 6y = 0 6) 7) 8) 9) (sen) y’’’- (cos) y’ = 2 10) Verifique que a função indicada é uma solução explícita da equação diferencial dada. Admita um intervalo de definição apropriado I. 11) 2y’ + y = 0; y = e-x/2 12) 13) y’’ - 6y’ + 13y = 0; y = e3x cos2x …

Lista de Exercícios: Revisão para Avaliação 1. Derive as funções seguintes usando as regras estudadas. Simplifique sua resposta. a) f(x) = 6x4 – 7x3 + 2x + b) f(x) = c) d) y = (2x + 5)3(x + 1)2 e) f) f(x) = (5x4 – 3x2 + 2x + 1)10 g) h) i) j) 2. Encontre a equação da reta que é tangente ao gráfico de f no ponto (x, f(x)) para o dado valor de x: a) f(x) = x2 – 3x + 2; x = 1 b) ; x= 1 c) ; x= 0 3. Em cada caso, encontre a taxa de variação de f(t)…