Cap2 Sec8

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Limites e Derivadas

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2.8

A Derivada como uma
Função

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A Derivada como uma Função
Na seção precedente consideramos a derivada de uma função f em um número fixo a:

Aqui mudamos nosso ponto de vista e deixamos o número a variar. Se substituirmos a na Equação 1 por uma variável x, obtemos

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A Derivada como uma Função
Dado qualquer número x para o qual esse limite exista, atribuímos a x o número f ′(x). Assim, podemos considerar f ′ como a nova função, chamada derivada de f e definida pela Equação 2. Sabemos que o valor de f ′ em x, f ′(x), podem ser interpretado geometricamente como a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x, f (x)).
A função f ′ é denominada derivada de f, pois foi "derivada“ a partir de f pela operação-limite na Equação 2.
O domínio de f ′ é o conjunto {x | f ′(x) existe} e pode ser menor que o domínio de f .
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Exemplo 1
O gráfico de uma função f é ilustrado na Figura 1. Use-o

para esboçar o gráfico da derivada f ′.

Figura 1

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Exemplo 1 – Solução
Podemos estimar o valor da derivada para qualquer valor

de x traçando a tangente no ponto (x, f (x)) e estimando sua inclinação. Por exemplo, para x = 5 traçamos a tangente em P na Figura 2(a) e estimamos sua inclinação como cerca de , então f ′(5) ≈ 1,5.

Figura 2(a)

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Exemplo 1 – Solução

continuação

Isso nos permite desenhar o ponto P ′(5, 1,5) sobre o gráfico de f ′ diretamente abaixo de P. Repetindo esse procedimento em vários pontos, obteremos o gráfico ilustrado na Figura 2(b).

Figura 2(b)

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Exemplo 1 – Solução

continuação

Observe que as tangentes em A, B e C são horizontais;

logo, ali a derivada é 0 e o gráfico de f ′ cruza o eixo x nos pontos A′, B′ e C′, diretamente abaixo de A, B e C. Entre A e B, as tangentes têm inclinação positiva; logo f ′(x) é positiva ali. Mas entre B e C as tangentes têm inclinação negativa; logo, f ′(x) lá é