Séries de Taylor

Daniel Cotta Capachi
Eduardo Gonçalves Barreira
Tiago Valle Teixeira

SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN

Palmas – TO
Junho, 2013.

Daniel Cotta Capachi
Eduardo Gonçalves Barreira
Tiago Valle Teixeira

SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN

Trabalho apresentado como nota parcial à disciplina de Cálculo III, ministrada pelo Professor Paulo Vitoriano da Faculdade Católica do Tocantins.

Palmas – TO
Junho, 2013.
SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO

O presente trabalho tem por finalidade apresentar as fórmulas, assim como o teorema para as fórmulas de Taylor e MacLaurin. As fórmulas de Taylor e MacLaurin possibilitam o cálculo aproximado de algumas funções logarítmicas, exponenciais e trigonométricas a partir de uma função polinomial.

2 REFERENCIAL TEÓRICO

2.1 Série de Taylor

Seja “f” uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo “a” como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por “f” em “x = a” é:

A soma dos n+1 primeiros termos do membro direito da equação acima é denominado de Polinômio de Taylor (Px (n)) de grau “n” de “f” no ponto “a”, ou seja:

O último termo da fórmula de Taylor é denominado de resto (Rn), ou seja:

2.1.1 Teorema da Estimativa do Resto

Se existirem constantes positivas “M” e “r” tais que para todo “t” entre “a” e “x”, inclusive, então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a desigualdade:

Se essas condições forem válidas para todo “n” e todas as outras condições do Teorema de Taylor forem satisfeitas por “f”, então a série convergirá para f(x).

2.1.2 Combinando Séries de Taylor

Na interseção dos seus intervalos de convergência, as séries de Taylor podem ser somadas, subtraídas e multiplicadas por constantes e potências de “x”, e os