teorema da reciprocidade

UNIVERSIDADE PAULISTA - ARAÇATUBA ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: Teoria das Estruturas “TEOREMAS RECÍPROCOS – MAXWELL-BETTI” Araçatuba 2013 TEOREMAS RECÍPROCOS Teorema de Betti “O trabalho produzido por um sistema de forças em equilíbrio quando se desloca devido às deformações produzidas por um outro sistema de forças em equilíbrio, é igual ao trabalho produzido por este segundo sistema de forças quando se desloca devido às deformações produzidas pelo primeiro sistema”. O princípio dos trabalhos virtuais pode ser utilizado para formular dois teoremas que são úteis na análise de estruturas lineares. Esses teoremas são chamados de reciprocidade e podem ser: Teorema de Maxwell e a sua versão generalizada, o Teorema de Betti. Considerando dois sistemas estruturais, A e B (Fig. 1), tem-se:  A é composto de um sistema de forças (FA ,fA) associado a uma configuração deformada (DA , dA).  FA são as forças externas atuando sobre a estrutura, fA são os esforços internos em equilíbrio com FA , DA é o campo de deslocamentos externos, e dA são os deslocamentos internos.  O sistema B é análogo ao A e composto de um sistema de forças (FB ,fB) associado a uma configuração deformada (DB , dB). Demonstra também que, em uma estrutura que exibe comportamento elástico linear, se se considerar dois sistemas de forças, de deslocamentos, e e , que provocam dois campos , então o produto das forças do sistema deslocamento no ponto

carregamento é igual a energia total de deformação armazenada no sistema” ou: Le = L Le= trabalho total das forças externas L= energia total de deformação 10.4 TEOREMA DE CLAPEYRON Quando um corpo de material elástico linear (segue a lei de Hooke) sujeito a pequenos deslocamentos é solicitado por uma força externa, a relação entre carga e deslocamento é linear: P = kδ (9) Onde k é um fator de proporcionalidade. O trabalho realizado pela força aplicada P,…

desprezar também as deformações relativas ao esforço cortante. Tais simplificações devem ser analisadas com critério para evitar possíveis erros grosseiros. TEOREMA DE CLAPEYRON: Sejam P1, Pi, ..., Pn forças externas independentes entre si e 1, 2, ..., n os deslocamentos correspondentes de seus pontos de aplicação medidos na direção e sentido de cada uma das forças. Admitamos que as forças Pi sejam aplicadas gradualmente e que, em um determinado instante, as forças podem ser…

base nas Equações (4.33) e (4.34):  du duT N = EA −  dx dx  ;   (4.35)  dθ dθ T M = EI −  dx dx  .   (4.36) Substituindo os esforços internos reais dados pelas Equações (4.35) e (4.36) na Equação (4.26), resulta na expressão do PDV para estruturas hiperestáticas com solicitações reais de carregamento externo, recalques e variação de temperatura:    du duT 1 P= EA − dx dx ∆ estrutura   ∫   d 2 v dθ T  du  ⋅…

potencial (Ui) e na energia cinética (K). Se o sistema for carregado lentamente a energia cinética pode ser desprezada e teremos como resultado: Ue = Ui 7.2. Teorema de Clapeyron Pn Pi P1 δi δn δ1 Sejam P1, Pi, ..., Pn forças externas independentes entre si e δ1, δ2, ..., δn os deslocamentos correspondentes de seus pontos de aplicação medidos na direção e sentido de cada uma das forças. Admitamos que as forças Pi sejam aplicadas gradualmente e que, em um determinado instante, as…

análise de estruturas reticuladas .................................................57 4. SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS ..................................................................................63 4.1. Traçado do diagrama de momentos fletores ......................................................63 4.2. Energia de deformação e princípio da conservação de energia.......................67 4.3. Princípio dos trabalhos…

análise de estruturas reticuladas .................................................57 4. SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS ..................................................................................63 4.1. Traçado do diagrama de momentos fletores ......................................................63 4.2. Energia de deformação e princípio da conservação de energia.......................67 4.3. Princípio dos trabalhos…

. . . . . . . . . . . . . . . 18 c 1.5.2 Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.3 Vigas–Coluna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.4 Barras Solicitadas por Tor¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 c˜ 1.5.5 Energia Potencial Total 1.5.6 Princ´ ıpios da Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5.7 Primeiro Teorema de Castigliano . . . . . . . .…

1.5.6 1.5.7 1.5.8 Treli¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 c Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Vigas–Coluna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Barras Solicitadas por Tor¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 c˜ Energia Potencial Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Princ´ ıpios da Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Primeiro…

⎪ L 12 ⎪ ⎟⎪ ⎪ EI ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟⎨ ⎬ = qL ⎪ ⎨ ⎬ ⎟⎪v ⎪ 3 ⎜ ⎪ 12 ⎪ L ⎜−12 −6 L 12 −6 L⎟⎪ 2 ⎪ ⎟ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎜ 6 L 2 L2 −6 L 4 L2 ⎠⎪θ ⎪ ⎪−L 12⎪ ⎪ ⎟ 2 ⎝ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Prof. Henrique Mariano C. Amaral 61 Fundamentos do Método dos Elementos Finitos Fundamentos do MEF Retornando agora ao problema original, impõe-se as restrições a ele pertinente: v1 = θ1 = 0 o que produz o seguinte sistema: ⎧ 12 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ EI ⎛ 12 −6 L⎞⎧v2 ⎫ ⎪ ⎟⎪ ⎪ = qL ⎪ ⎜ ⎟ ⎨ ⎬ 2 ⎟⎨ ⎬ 3 ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪−L 12⎪ L ⎜−6 L 4…