Calculo estrutural

Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia Departamento de Engenharia de Estruturas

An´lise Estrutural I a

Prof. Marco Antˆnio Mendon¸a Vecci o c Belo Horizonte, Abril de 1999

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Conte´ do u

1 Energia 1.1 1.2 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ Energia de Deforma¸˜o e Energia Complementar . . . . . . . . . . . . . . . ca 1.2.1 1.2.2 1.3 1.4 Energia de deforma¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ Energia Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 4 5 7

Energia de Deforma¸˜o e Energia Complementar em Trˆs Dimens˜es . . . 10 ca e o Casos Especiais de Energia de Deforma¸ao e c˜ Energia Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5

Energia de Deforma¸˜o e Energia Complementar em Barras . . . . . . . . 18 ca 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5 1.5.6 1.5.7 1.5.8 Treli¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 c Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Vigas–Coluna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Barras Solicitadas por Tor¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 c˜ Energia Potencial Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Princ´ ıpios da Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Primeiro Teorema de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Energia Potencial Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

ii 1.5.9 Primeiro Teorema de Engesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.5.10 Segundo Teorema de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.5.11 Os Teoremas da Reciprocidade de Rayleigh-Betti e de Maxwell . . . 57 1.5.12 Segundo Teorema de Engesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.5.13 Teorema de Castigliano do Trabalho M´ ınimo (Teorema de M´nabr´a) 71 e e 2 Trabalhos Virtuais 2.1 2.2 2.3 2.4 78

Trabalho Virtual em uma part´ ıcula .