limites e continuidade

C´lculo I - 2014/2015 a Limites e Continuidade Ana Paula Nolasco Departamento de Matem´tica a Universidade de Aveiro 1 Vizinhan¸a c 2 Def. 1.1 Sejam a ∈ R e ε ∈ R+ . Chamamos vizinhan¸a-ε de a ou vizinhan¸a de centro a e raio ε c c ao conjunto Vε (a) := {x ∈ R : |x − a| < ε} =]a − ε, a + ε[. Exer. 1.2 Determine os conjuntos: (a) V2 (3) ; (b) V 1 (−2) . 3 Ponto interior, exterior e fronteiro 3 Def. 1.3 Sejam a ∈ R e S ⊂ R. a ´ ponto interior de S se existe ε > 0 tal que Vε (a) ⊂ S. e a ´ ponto exterior de S se a ´ ponto interior do e e complementar de S em R. a ´ ponto fronteiro de S se a n˜o ´ ponto interior nem ponto e a e exterior de S. Obs. 1.4 O complementar de S em R ´ o conjunto R \ S. e Interior, exterior, fronteira e fecho 4 Def. 1.5 Interior de S: int(S) conjunto dos pontos interiores de S Exterior de S: ext(S) conjunto dos pontos exteriores de S Fronteira de S: frt(S) conjunto dos pontos fronteiros de S Fecho de S ¯ S = int(S) ∪ frt(S) Exer. 1.6 ¯ Indique int(S), ext(S), frt(S) e S, sendo: (a) S = [1, 4[ ∪ {2π, 10}; (b) S = [−1, 1] ∪ {3}. Conjunto aberto, fechado e compacto Def. 1.7 S ´ um conjunto aberto se int(S) = S. e ¯ S ´ um conjunto fechado se S = S. e S ´ um conjunto compacto se S ´ fechado e limitado. e e Obs. 1.8 S ⊂ R ´ limitado se existe L > 0 tal que |x| ≤ L, ∀x ∈ S. e Exer. 1.9 Verifique se S ´ fechado, aberto e/ou…

Limite e Continuidade Profa. Marli Noção Intuitiva Sucessões numéricas Dizemos que: 1, 2, 3, 4, 5, .... Os termos torna-se cada vez maior sem atingir um limite x  + 1 2 3 4 5 , , , , ,..... 2 3 4 5 6 Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor x1 1, 0, -1, -2, -3, ... Os termos torna-se cada vez menor sem atingir um limite x  - 3 5 6 1, ,3, ,5, ,7,... 2 4 7 Os termos oscilam sem tender a um limite Limites Intuitivos <  < (b ) …

LIMITES E CONTINUIDADE 1. Introdução Vamos introduzir o conceito de limite a partir do exemplo abaixo. Consideremos inicialmente uma função simples como f(x) = 2x + 1. Essa é uma função linear (seu gráfico é uma linha reta) que passa pelo ponto 1 na intersecção com o eixo y e, para cada aumento de uma unidade em x, o valor da função aumenta 2 unidades (coeficiente de x é igual a 2). Para x = 1, y = f(x) = 3, e para x = 2, y = 5. Fig. 1.1 – Função f(x) = 2x + 1. O nosso…

1. LIMITES E CONTINUIDADE 1.1. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Vamos fazer um estudo informal de limites, de modo a desenvolver intuitivamente idéias básicas que irão alicerçar nossos estudos futuros. Muitas vezes quando trabalhamos com funções, o que nos interessa são os valores f(x) de uma função f, quando x assume valores próximos de um número a, em outras palavras, queremos saber se a f(x) se aproxima de um número b quando x se aproxima de a. Em caso…

LIMITE DE UMA FUNÇÃO LIMITES À ESQUERDA E À DIREITA Se a função f(x) tende ao limite b1, quando x tende ao valor a por valores inferiores a a, diz-se que b1 é o limite à esquerda de f, e escreve-se; Se a função f(x) tende ao limite b2, quando x tende ao valor a por valores superiores a a, diz-se que b2 é o limite à direita de f, e escreve-se Se os limites à esquerda e à direita da função f(x) existem e são iguais, isto é, se b1= b2=b, então b é o limite de f(x), quando x → a.…

IGREJA CRISTÃ MARANATA REGIÃO CNO – RJ PROJETO APRENDIZ (2º SEMESTRE/2014) PLANO DE CURSO CURSO: VIOLINO OBJETIVOS: O curso de Violino do 2° semestre do Projeto Aprendiz 2014 tem por objetivo a iniciação, capacitação e aperfeiçoamento técnico/musical dos irmãos inscritos nesta fase, visando além disso o aperfeiçoamento do louvor na igrejas locais e região. CONTEÚDOS: Parte prática: Postura; Desenvolvimento do arco; Desenvolvimento da mão esquerda: dedos 1,2,3 e 4;…

Aula _ Limite e Continuidade Idéia intuitiva e definição de limites. A Definição de Limite Para chegarmos a definição precisa de limite consideremos inicialmente a função 2 x  1, se x  3 f ( x)   , se x  3 6 Intuitivamente, se mas x  3 , então ou seja, x está próximo de f ( x) está próximo de lim f ( x)  5. x 3 3, 5, A Definição de Limite Quão próximo de 3 deverá estar x para que f ( x) esteja próximo de 5?  Ou, a que distância x deverá estar de 3, para que a…

1. Utilize os teoremas de limites para calcular a) R: 7 b) R: - 1/22 c) R: 3/2 d) R: 14 e) R: -10 f) ??? R: 12 g) R: 16/7 h) R: -1 i) R: 1/2 j) R: 2. Para cada uma das funções abaixo calcule o a) R: 12 b) R: -1/4 c) R: 17 3. Faça o gráfico das funções abaixo e calcule o limite indicado, se existir; se não existir, justifique 3.1. a) R: 4 b) R: 4 c) R: 4 3.2. …

FUNÇÔES 1 Limites e continuidade Na figura está parte da representação gráfica de uma função g de domínio IR e contínua em IR \ 0  . Considere a sucessão de termo geral u n  y 1 n 2 1 Indique o valor de lim g(un ) n  (A) + (B) O 0 (C) 1 (D) x 2 (Prova modelo 98) 2. y Na figura está parte da representação gráfica de uma função g de domínio IR e contínua em IR \ 2 . 2 Considere a sucessão de termo geral un  2  O 1 . n Indique o valor de lim gun  2 x…

Limites Ao trabalhar com uma função, nossa primeira preocupação deve ser o seu domínio (condição de existência), afinal, só faz sentido utilizá-la nos pontos onde esteja definida e sua expressão matemática, portanto, tenha significado. Todavia, em muitos casos, é importante saber como a função se comporta quando a variável está muito próxima de um ponto que não pertence ao seu domínio. E para este estudo, nos valemos da teoria de limites, a qual permite a análise de uma função em uma…