Derivadas Direcionais

SANITÁRIA E AMBIENTAL CÁLCULO II Carga horária – 68 horas Prof. Janilson Leão de Souza1 1Universidade Federal do Pará, Tucuruí – Pa, Brasil janilson@ufpa.br Tucuruí – Pará Fevereiro de 2014 EMENTA  FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL, DERIVADAS PARCIAIS E APLICAÇÕES  INTEGRAIS MÚLTIPLAS  APLICAÇÕES DE INTEGRAIS MÚLTIPLAS BIBLIOGRAFIA  Básica  ÁVILA, Geraldo – Cálculo II – Livros Técnicos e Científicos. Ed. S.     S. Rio de Janeiro, 1981.…

o ponto (x0,y0) http://www.mat.uc.pt/~picado/geomdif/anima/planotangente.html Derivada direcional Definição: Seja f : A  R n  R uma função real de variável vetorial Seja r0=(x10, x20,..., xn0) ϵ A, e u um vetor unitário de Rn. A derivada direcional de f no ponto r é f (r0  hu )  f (r0 ) Dfu  lim h0 h Se o limite existe. r 0  h u  r Define uma reta L Que passa por r0 na direção u . Derivada direcional Seja f : A  R3  R , e ro=(x0,y0,z0), e u=(u1,u2,u3) f ( x0  hu1 , y0  hu2

R: 4,5 R: 2/15 A derivada direcional de f(x,y)=xey+cos(xy) no ponto P(2, 0) na direção do vetor u=(3, -4) é igual a: R: -1 Calculando o gradiente de f(x,y)=x.e5y em P(3, 0) obtemos: R: i+15j A derivada direcional de f(x,y)=x2lny no ponto P(5, 1) na direção do vetor v=(3/5, 4/5) é igual a: R: 20 A derivada direcional de f(x, y)= 3xy2+x2y em P(1, 1) na direção de P a Q(3, 2) é igual a: R: R: 81 R: 54 Considere a função f(x, y) = ln (x2+y2). Qual é a derivada direcional de f no…

Capítulo 2 Derivada Direcional, Gradiente, Máximos e Mínimos CÁLCULO 2 – PÁGINA 2 Produto escalar O produto escalar é uma operação entre vetores que produz um escalar. Essa operação é bastante utilizada no cálculo de tamanhos ou ângulos entre vetores. O produto escalar pode ser calculado através de duas fórmulas, dependendo das informações disponíveis: • Se possuirmos as coordenadas dos vetores: Considere os vetores u = ( x u , y u ) e v = ( x v , y v ) . A fórmula que calcula o produto

Calcule o ângulo formado pelos gradientes da função f(x,y) = ln( ) nos pontos A e B(1,1). Questão 04. Calcule a derivada direcional do campo escalar f(x,y) = 3y + xy no ponto P(1,2) e na direção do vetor V = ( 3,-4). Questão 05. Calcule a derivada direcional da função f(x,y) = 3y + y no ponto P(-1,2) na direção do vetor V = ( 2, 0). Questão 06. Sendo f(x,y) = , calcule a derivada direcional de f no ponto P(1,2), nas seguintes direções: a) na direção do vetor V =(- 3, 4); b) na…

11.5 Derivada Direcional, Vetor Gradiente e Planos Tangentes Luiza Amalia Pinto Cant˜ ao Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista – UNESP luiza@sorocaba.unesp.br Estudos Anteriores Derivadas parciais: Taxa de varia¸c˜ao de uma fun¸c˜ao em rela¸c˜ao a uma vari´avel. Ou seja, se u = i = 1, 0 , ent˜ao Dif = fx, e se u = j = 0, 1 , ent˜ao Djf = fy . Regra da Cadeia: Se f (x, y) ´e diferenci´avel, ent˜ao a taxa com que f varia em rela¸c˜ao a t ao longo de uma curva

As derivadas parciais nos fornecem as taxas de variação de uma função em direções paralelas aos eixos coordenados x, y e z. No entanto, cabe-nos perguntar se podemos calcular as taxas de variação em relação a uma direção qualquer. A resposta é afirmativa e, para isso, utilizamos as derivadas direcionais. Suponha que queiramos calcular a taxa de variação instantânea de f(x, y) em relação à distância em um certo ponto (x0, y0). Há uma infinidade de direções ns quais um ponto pode se…

4ª Lista de Exercícios Funções de Várias Variáveis: Derivadas Parciais, Gradiente e Derivadas Direcionais, Plano tangente e Normal. Aluno:________________________________________ Turma _________ 1º) Dadas as funções determine as derivadas parciais indicadas para f(x,y) : fx(x,y) e fy(x,y) e para f(x,y,z): fx(x,y,z), fy(x,y,z) e fz(x,y,z) 2º) Dadas as funções determine as derivadas parciais indicadas. 3º) Dada a função w = f(x,y,z) , mostre

função no ponto P(2,1); Vf(2,1)= (4.(23)-2.(1), -2.(2)=> Vf(2,1)= 32-2, -4=>Vf(2,1)= (30,-4) C) O módulo do gradiente desta função no ponto P(2,1) //Vf//(2,1)=√a2+b2= √302+(-4)2= √916= 4.√229 3 – Dada a função: f(x,y)= X4-2XY3-14, determine a derivada direcional da função no ponto P(2,1), na direção do vetor V=(3,4) Solução do 1º gradiente: df/dx(x,y)= 4x3-2y3 df/dy(x,y)= -6xy2 Vf(x,y)=(4x3-2y3. -6xy2) Solução do 2º gradiente: //√//= √a2+b2= √32+42= √25= 5 …

F( x , y , z)  e xz i  3 xey j  eyz k 6. Calcule  (   G ) (contrib. Prof. Péricles) a) G( x , y , z)  xy j  xyzk b) G( x , y , z)  x y2 i  3 yz j  x y k 7. Calcular a derivada direcional da função  f ( x, y)  e x y na direção v  [ 1,1 ] no ponto P(0,1). 8. Determine a derivada direcional de f(x,y) no ponto P e direção indicada pelo ângulo: 2 3 4 a) f ( x, y)  x y  y , P(2, 1) e    / 3 b) f ( x, y)  5x . y , P(1,4) e    / 6 9. A…