Calculo diferencial

Capítulo 2
Derivada Direcional, Gradiente, Máximos e Mínimos

CÁLCULO 2 – PÁGINA 2

Produto escalar
O produto escalar é uma operação entre vetores que produz um escalar. Essa operação é bastante utilizada no cálculo de tamanhos ou ângulos entre vetores. O produto escalar pode ser calculado através de duas fórmulas, dependendo das informações disponíveis: • Se possuirmos as coordenadas dos vetores: Considere os vetores u = ( x u , y u ) e v = ( x v , y v ) . A fórmula que calcula o produto escalar entre esses vetores é dada por:

u ⋅ v = x u x v + yu yv • Se possuirmos os tamanhos dos vetores e o ângulo entre eles:
Considere que os vetores u , de tamanho u , e v , de tamanho v , formem um ângulo θ entre eles. O produto escalar entre esses vetores é dado por:

u ⋅ v = u v cos θ
Podemos utilizar a última fórmula para demonstrar que o produto escalar pode ser usado quando desejamos calcular o tamanho de um vetor, dispondo apenas das suas coordenadas. Fazendo o produto escalar do vetor u = ( x u , y u ) com ele mesmo:

u ⋅ u = u u cos 0 ∴ u ⋅ u = u

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Observe que o ângulo entre o vetor u = ( x u , y u ) e ele próprio é zero já que os dois vetores estão na mesma direção e sentido. O produto escalar que se encontra do lado esquerdo da igualdade pode ser calculado por u ⋅ v = x u x v + y u y v .

Uma rápida introdução sobre vetores e retas
Considere que desejamos encontrar a equação de uma reta r que passa pelo ponto

P = ( x 0 , y 0 ) e é paralela ao vetor u = (a , b) conforme mostra a figura:

PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA ([e-mail])

CÁLCULO 2 – PÁGINA 3 Desejamos encontrar neste momento as coordenadas de qualquer ponto A = ( x, y) sobre a reta r. Conforme as considerações iniciais, o vetor PA = ( x − x 0 , y − y 0 ) é paralelo ao vetor

u = (a , b) . Podemos então dizer que as coordenadas PA são múltiplas das coordenadas do vetor u :

PA = t u Substituindo as coordenadas de cada vetor: ( x − x 0 , y − y 0 ) = (at, bt ) Como