Calculo Diferencial

Análise Matemática I, março de 15
Cálculo Diferencial

Definição da derivada: A derivada da função em relação a x é o limite para o qual tende a razão do crescimento da função e o crescimento da variável independente quando este tende para zero.
Notações empregues:
Dada a função , o acréscimo da variável independente é na variável dependente teremos e .
Pode-se calcular o acréscimo da função :
Forma-se o quociente do acréscimo da função e da variável independente:
Calcule-se limite da fracção quando :esta chama-se derivada de y=f(x) em relação a x
Exemplo 1: Calcule a derivada de (1) num ponto qualquer x (2) bo ponto x=2
Resolução:
1. Forma-se o quociente :
Passando ao limite quando teremos assim
2. Para x=3

Funções deriváveis
Definição: Se oquando existe dir-se-á que a função é derivável para .
Teorema: Se a função é derivável no ponto , ela é contínua neste ponto.
Se quando então sendo que é uma grandeza que tende para zero quando
Nota: Nos pontos de descontinuidade uma função não pode ter derivada

Derivada das funções elementares
Derivada da função
Para calcular a derivada desta função recorre-se às seguintes operações:
1. Dar o acréscimo à variável x, calcular o valor correspondenteda função:
2. Calcular o crescimento correspondente da função:
3. Formar a razão entre o crescimento da função e o acréscimo da variável:
4. Calcular o limite desta razão quando
Teorema: A derivada da função é igual a se então
Demonstração
1. Se x sofre acréscimo então:
2. Desenvolver usando a formula de binómio de Newton:
3. Calcular o quociente
4. Achar o limite do quociente quando :
Logo cqd
Exemplos: ,

Derivadas das funções
Teorema 1: A derivada do senx é cosx i.e. se
Demonstração:
1. Introduzir o acréscimo em x e y:
2. Calcular o :
3. Achar o quociente :
4. Achar o limite quando e isto resulta em afirmar que , logo a derivada de senx é cos x.

Teorema 2: A derivada do cosx é -senx i.e. se
Demonstração:
1. Introduzir o acréscimo em x e y:
2.