Coordenadas 2t 4 3 2t

Geometria Analítica – O Estudo da Reta 1. Professor: 3º Ano do Ensino Médio 3 horas aula 1. Revisando  Dois pontos do plano cartesiano definem  A equação geral da reta é dada por: ax +by +c = 0 UMA e APENAS UMA reta Onde: “x” corresponde à abscissa do ponto “y” corresponde à ordenada do ponto “a,b, c” são números reais “a, b” não são simultaneamente nulos  Coeficiente linear = termo independente Para obter a equação geral da reta, que passa…

equação ache as coordenadas do foco. Solução: Sendo x o eixo de simetria, então A equação é da forma . Comparando os coeficientes temos: , então . Logo o foco será . 3) Dada a parábola com equação . Ache o vértice, o foco, a equação da diretriz e a equação do eixo. Solução: Reescrevendo a equação na seguinte forma e somando 16 em ambos os lados obtemos: Logo, o vértice está em (, a equação do eixo é , o foco está em e a equação da diretriz é . 3.…

Nesse caso, partimos da (coordenada de) posição em função do tempo para obter as velocidades médias. Se dois movimentos começam e terminam nos mesmos pontos e têm a mesma duração total, a velocidade média total será a mesma. Isto, no entanto, não fornece detalhes sobre o movimento de cada um. Exemplo 4: João e Pedro deixam o marco inicial de uma pista de caminhada no instante t=0; entre t=0 e t=30min a velocidade média de ambos, no sistema de referência indicado, é de 4 km/h. Vamos…

forma um ângulo de 135o com o eixo das abscissas e que passa pelo ponto P(4, 5). Solução: Sabemos que α = 135o e que a equação reduzida da reta é da forma y = mx + q. Assim, temos que: m = tg 135o = – 1 Como a reta t passa pelo ponto P, obtemos: 5 = -1*4 + q q = 5 + 4 = 9 Portanto, a equação reduzida da reta t é y = – x + 9. Exemplo 2. Determine a equação reduzida da reta s que passa pelos pontos A(1, 0) e B(3, 4). Solução: Como conhecemos dois pontos da reta s, podemos…

igual a 9 unidades. Sabendo-se que A(1,1,1), B( 2,1,2), C(1,2,2), o vértice E → r pertence à reta r de equação r : x = − y = 2 − z e ( AE, i ) é agudo. Determine as coordenadas do vértice E. Solução: → Como E pertence à reta r, temos E( t ,−t , 2 − t ) e AE = ( t − 1,−1− t , 1 − t ) . Assim, 1 0 1 → → → | [ AB, AC, AE ] | = | 0 1 1 | =|3− t | = 9. t −1 − t −1 1− t Logo t = −6 ou t = 12 . → → r → r Se t = −6, então AE = ( −7, 5,7) e AE ⋅ i = −7. Logo ( AE, i ) é obtuso. Como este…

funções: 4 x5 a) f ( x)  815   200 x3 5 x4 b) f ( x)  345 x  2 c) f ( x)  15  1 3x 2 3  4t 2 d) f (t )  t 3 e) f ( x)  1 ( x  8)3 2 f) f ( x)  (3  x3 )4 1 g) f ( x)  sen(4 x) h) y  cos (3t 2 1) i) f ( x)  ln ( x 4  5) j) y  x  e3x 12 10 x  8 x3  6 5 k) f ( x )  6 x 4  l) g( )  9   3 2  m) h( z )  5 2 6  3z  4 z 2  10  5 z 3 4 z 2 n) y  5 x 8 6   13x 2…

Assim, cada escalar h determina um único ponto P pertencente a r e, reciprocamente, para cada ponto de r, existe um único valor r real h tal que P = Po + h v r . 1 1.2 Equações paramétricas e simétricas r Fixado um sistema de coordenadas, sejam Po ( x o , y o , z o ) e v r = (a , b, c ) . r A equação vetorial da reta r, determinada por Po e v r é: r : (x, y, z) = (x o , y o , z o ) + h (a, b, c); h ∈ IR , x = xo + h a  que equivale ao sistema r :  y = yo + h b ; h ∈ IR

Instru¸c˜ oes: • O trabalho tem valor de 10 pontos e ´e para ser entregue no dia da prova. • Todos os c´aculos devem ser apresentados de forma clara e organizada. • Mencione todas as vezes que vocˆe utilizar um resultado importante. 1a Quest˜ ao. Cordas de 3 m e 5 m de comprimento s˜ao atadas a` decora¸ca˜o natalina suspensa sobre uma pra¸ca. A decora¸ca˜o tem massa de 5 kg. As cordas, atadas em diferentes alturas, fazem aˆngulos de 52o e 40o com a horizontal. Determine a tens˜ao em cada…

br 1 O Plano Sistema de Coordenadas y y’ P Py x’ Considere o par de retas perpendiculares x e y; OA = OA’ = unidade; P = ponto qualquer do plano; A’ 1 1 O A Px x Por P, podemos traçar as retas x’ (paralela a x) e y’ (paralela a y), sendo essas retas as únicas possíveis. x’ e y’ interceptam x e y nos pontos Px e Py. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 2 O Plano Sistema de Coordenadas y y’ P Py…

Exemplo: Para determinar a posição relativa entre as retas r e s, de equações r: y=3x-2 e s: 6x-2y+5=0, basta comparar suas declividades. Vamos usar a forma reduzida de cada uma delas. R: y=3x-2 -> mr =3 S: 6x-2y+5 -> 2y = 6x+5 -> y= 3x+ 5 -> ms =3 2 Portanto, mr =ms =3 -> r e s são paralelas. Como nr = -2≠ 5 = ns , as retas r e s são paralelas distintas. 2 -Perpendiculares Na figura a seguir, as…