exercicios de calculo 4

Um triângulo é uma curva parcialmente suave formada pela união de 3 curvas suaves (segmentos de reta) C1, C2 e C3. C1 :. r(t) = (1–2t, 1) t[0, 1] r’(t) = (-2, 0) C2 :. r(t) = (-1+t, 1-2t) t[0, 1] r’(t) = (1, -2) C3 :. r(t) = ( t, -1+2t) t[0, 1] r’(t) = (1, 2)  C F . dr =  C1 F . dr +  C2 F . dr +  C3 F . dr =  1 0 (-1, 1-2t) . (-2, 0) dt +  1 0 (-1+2t, -1+t) . (1, -2) dt +  1 0 (1-2t, t) . (1, 2) dt = =  1 0 2 dt +  1 0 (-1 + 2t + 2 - 2t) dt +  1 0 (1-2t + 2t) dt = =  1 0 2 dt +  1 0 dt +  1 0 dt = 2t 1 0 + t 1 0 + t 1 0 = 2 + 1 + 1 = 4 Exemplo 2: Calcule C x2 dx + y2 dy + z2 dz sendo C o arco da hélice dado pela função vetorial r(t) = ( 4cos t, 4sen t, 8t) t[0, 2 ] x = 4cos t ; y = 4sen t ; z = 8t dx = -4sen t ; dy = 4cos t ; dz = 8 C x2 dx + y2 dy + z2 dz = =  2 0 16cos2t (-4sen t) dt + 16sen2t 4cos t dt + 64t2 8dt = = 64/3 cos3 t + 64/3 sen3 t + 512/3 t3 2 0 = = 64/3 (13 - 13) + 64/3(0 – 0) + 512/3 (2 )3 = 4096/3 3 Exemplo 4 Calcule a integral 2 C ∫ xy ds , na qual C é o quarto de circunferência no primeiro quadrante, com centro na origem do plano cartesiano e de raio 1. Solução: O primeiro passo é obter a parametrização de C. A figura 12 representa a curva em estudo. Figura 12: Quarto de circunferência de raio 1 Lembre-se de que na conversão de coordenadas retangulares para coordenadas polares, temos x = r cosθ e y = rsenθ Considerando o ângulo como o…

Dra. Diana Andrade & Prof. Dr. Sergio Pilling Parte1 - Movimento Retilíneo (continuação) Velocidade instantânea e aceleração. 1 Velocidade Instantânea Se conhecemos a posição do corpo em cada instante de tempo podemos calcular velocidades médias para diferentes intervalos, conhecendo-se, assim, novos aspectos do movimento. Nesse caso, partimos da (coordenada de) posição em função do tempo para obter as velocidades médias. Se dois movimentos começam e terminam nos mesmos pontos e…

AP , isto é, P = A + AP , a condição acima também se escreve: → P ∈ r ⇐ existe t ∈ R tal que P = A + t AB . ⇒ Assim, a reta r é caracterizada pela equação → r : P = A + t AB ; t ∈ R que é chamada equação paramétrica da reta r com parâmetro t. Geometria Analítica - Capítulo 11 182 Equação paramétrica da reta em coordenadas Seja OXY Z um sistema de eixos ortogonais no espaço e considere os pontos A e B em coordenadas: A = (a, b, c) e B = (a , b , c ) Escrevendo o ponto…

Solução da Equação unidimensional de transferência de calor em regime permanente Prof Dr. Engº Jorge Nhambiu 2 2.1 Introdução A transferência de calor e a temperatura estão directamente relacionadas, mas são de natureza diferente. Diferente da temperatura o fluxo de calor tem magnitude e direcção, logicamente é um vector. Dai é necessário para além da magnitude, descrever a direcção para caracterizar por completo a transferência de calor num ponto. Prof Dr. Engº…

tg ( r ) 3. Equação de uma reta y y yo O r P r ar  r Q y – y0 QR PR y  yo x  xo y  yo  ar ( x  xo )  R P  ( xo , yo ) x – x0 xo ar  x x y  ar x  axo  yo y  ar x  b Forma reduzida da reta Observe que a equação  só é satisfeita pelas coordenadas dos pontos da reta r. Por essa razão, dizemos que a equação  representa a reta r, ou é uma equação da reta r. O número b é chamado coeficiente linear da reta r. Exemplo 1 Determine uma equação reduzida da…

Referências Bibliográficas BOULOS, P. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. CAMARGO, I. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Person Makron Books, 1987. IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar, 7: geometria analítica. São Paulo: Atual, 1993. KLETNIC, D. Problemas de geometria analítica. Belo Horizonte: Cultura Brasileira, 1984. LIMA, E. L.…

vetores a = (4 , 3 , 2), b = (9 , −3 , −5) e c = (7 , −6 , 4). Calcule a partir das suas coordenadas: a) a + b + c;  r t    t por ry t    4t 2  20t  12 2 z   rx t   2t 2  40t   5t  10 encontre a energia cinética quando se passaram 2,0 s, considere massa do 7 c) a − c; –  Dados, yt    t  4t  2t d) b – a; e) b − 3c; 2 - Sejam os vetores a = (4 , 3 , 2), b = (9 , −3 , −5) e c = (7 , −6 , 4). Faça as multiplicações: a) a x b . c; e, e corpo…

Geometria Analítica A geometria analítica foi um estudo realizado pelo matemático René Descartes que aliou os conhecimentos da álgebra ao estudo das figuras geométricas. No entanto, antigamente a geometria analítica era conhecida como Geometria de coordenadas e geometria cartesiana, pois com a aplicação da álgebra na geometria é possível fazer qualquer representação geométrica por meio de pares ordenados, equações e inequações. Nessa seção iremos estudar todos os elementos necessários…

[1] A Reta A RETA (1) Equação Vetorial da Reta (equação vetorial de um segmento de reta) (2) Equações Paramétricas da Reta (3) Equações Simétricas da Reta (4) Equações Reduzidas da Reta (5) Equação Geral da Reta (6) Ângulo de duas retas: Caso Geral (I) Paralelismo entre duas retas (Retas Paralelas aos eixos coordenados) (II) Ortogonalidade de duas retas (7) Reta ortogonal a duas retas (8) Intersecção de duas retas (9) Posições relativas de duas retas: concorrentes, paralelas e reversas…

Fig. 3: ∠(r1 , r2 ) = θ. A fórmula vale também quando r1 e r2 são paralelas ou coincidentes, isto é, quando ∠(r1 , r2 ) = 0o , pois → → v1 = λv2 ⇒ → → λv2 , v2 → → λv2 v2 → → v2 , v2 = → → |λ| v2 v2 |λ| = 1 = cos 0o = cos ∠(r1 , r2 ) . Exemplo 1 Calcule o ângulo entre as retas r1 : x−1 y +1 z = = 2 2 2 e r2 : x + 2 = y −1 z−2 = . 2 3 Mostre, também, que essas retas são reversas. Solução. → Temos que v1 = (2, 2, 2) IM-UFF…