G.A. Coordenadas da Reta e do Plano

Capítulo 1 Coordenadas e distância na reta e no plano 1. Introdução A Geometria Analítica nos permite representar pontos da reta por números reais, pontos do plano por pares ordenados de números reais e pontos do espaço por ternos ordenados de números reais. Desse modo, curvas no plano e superfícies no espaço podem ser descritas por meio de equações, o que torna possível tratar algebricamente muitos problemas geométricos e, reciprocamente, interpretar de forma geométrica diversas questões algébricas. Ao longo destas notas admitiremos que o leitor conheça os principais axiomas e resultados da Geometria Euclidiana Plana e Espacial, relativos aos seus elementos básicos: pontos, retas e planos. Por exemplo: por dois pontos distintos passa uma, e somente uma reta; por três pontos do espaço não situados na mesma reta passa um, e somente um plano; fixada uma unidade de comprimento, a cada par de pontos A e B corresponde um número real, denominado distância entre os pontos A e B ou comprimento do segmento AB, e designado por d(A, B) ou |AB|, respectivamente, que satisfazem às seguintes propriedades: 1 2 2.. COORDENADAS E DISTÂNCIA NA RETA Sejam A, B e C pontos arbitrários. Então: Teorema 1 a. para todo λ > 0 e para toda semirreta de origem A, existe um único D nesta semirreta tal que d(A, D) = λ. b. d(A, B) ≥ 0. c. d(A, B) = 0 ⇐⇒ A = B. d. d(A, B) = d(B, A). e. d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B)(desigualdade triangular). f. d(A, B) =…

CONCEITOS: RETA, SEMI-RETA, PONTO, LINHA, PLANO, COORDENADA E ARESTA. AGOSTO 2012 Reta Uma reta é o resultado da deslocação de um ponto segundo uma determinada lei. É uma linha infinita e que tem uma única direção. Para formarmos uma reta precisamos de no mínimo dois pontos. A reta é representada por letras minúsculas…

equações com retas e cônicas. Leibniz contribuiu com a nomenclatura criando termos como coordenadas, abscissas e ordenadas inspirado na terminologia adotada pelos gregos em seus cálculos geométricos. O QUE É GEOMETRIA ANALÍTICA? Cada objeto geométrico pode ser representado através de números que representam distâncias medidas a partir de referências. Estas referências são, no caso do plano, duas retas concorrentes e, no caso do espaço, três retas concorrentes não-coplanares. O…

Sistema de coordenadas cartesiano René Descartes O "Sistema de Coordenadas Cartesianas" é um esquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço", com n dimensões. É chamado de cartesiano em homenagem a seu criador, o matemático e filósofo francês René Descartes (1596-1650), cujos trabalhos permitiram o desenvolvimento de áreas científicas como a geometria analítica, a euclidiana, o cálculo e a cartografia. Sua…

geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e de geometria cartesiana, é o estudo da geometria por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise. Ela contrasta com a abordagem sintética da geometria euclidiana, em que certas noções geométricas são consideradas primitivas, e é utilizado o raciocínio dedutivo a partir de axiomas e teoremas para obter proposições verdadeiras. A geometria analítica é muito utilizada na física e na engenharia, e é…

MATEMÁTICA (11º ano) – Exercícios de Exames e Testes Intermédios Equações de retas e planos 1 Seja um número real. Considere, num referencial o.n. , a reta e o plano definidos, respetivamente, por e Sabe-se que a reta é paralela ao plano Qual é o valor de (A) ? (B) (C) (D) Teste Intermédio 11º ano – 09.02.2012 2 Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. Seja , a pirâmide quadrangular regular o centro da base da pirâmide.…

Fevereiro de 2014 Fixemos um sistema de coordenadas ortogonal Σ = (O, E). Exerc´ ıcio 1 Em cada ums dos itens abaixo, verifique se as retas r e s dadas, em rela¸˜o aos sisca tema de coordenadas Σ, pelas equa¸oes abaixo s˜o ortogonais. Nos casos afirmativo verifique se s˜o c˜ a a perpendiculares. a) r : (x , y , z)Σ = (1 , 2 , 3)Σ + λ · (1 , 2 , 1)E , para λ ∈ R e s : (x , y , z)Σ = (2 , 4 , 4)Σ + λ · (−1 , 1 , −1)E , para λ ∈ R . x−1 y−3 z b) r : = = e s : (x , y , z)Σ = (1…

introduz a noção de coordenadas. Considerando duas grandezas relacionadas entre si, representou uma delas sobre um dos eixos e a outra sobre o outro eixo; construindo, por meio de paralelas, os outros dois lados, completou a figura de um paralelogramo, definindo e caracterizando um ponto no plano. Todo o seu trabalho consistia, então, em partir de um problema geométrico, traduzi-lo para uma linguagem de equação algébrica e, simplificando o máximo essa equação, resolvê-la…

Xavier S˜ao Carlos RA 422690 Sum´ ario 1 Introdu¸ c˜ ao 2 2 Coordenadas na Reta 2.1 Reta Orientada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 Coordenadas no Plano 3.1 Posi¸c˜ ao de um ponto em rela¸ca˜o ao sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Bissetriz dos quadrantes . . . . . . .…

DA RETA PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta será demonstrado com base na ilustração a seguir. O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, possuindo os três ângulos respectivamente iguais. Dessa forma,…