G.A. Coordenadas da Reta e do Plano

Capítulo 1
Coordenadas e distância na reta e no plano
1.

Introdução

A Geometria Analítica nos permite representar pontos da reta por números reais, pontos do plano por pares ordenados de números reais e pontos do espaço por ternos ordenados de números reais.
Desse modo, curvas no plano e superfícies no espaço podem ser descritas por meio de equações, o que torna possível tratar algebricamente muitos problemas geométricos e, reciprocamente, interpretar de forma geométrica diversas questões algébricas.
Ao longo destas notas admitiremos que o leitor conheça os principais axiomas e resultados da Geometria Euclidiana Plana e Espacial, relativos aos seus elementos básicos: pontos, retas e planos. Por exemplo: por dois pontos distintos passa uma, e somente uma reta; por três pontos do espaço não situados na mesma reta passa um, e somente um plano; fixada uma unidade de comprimento, a cada par de pontos A e B corresponde um número real, denominado distância entre os pontos A e B ou comprimento do segmento
AB, e designado por d(A, B) ou |AB|, respectivamente, que satisfazem às seguintes propriedades:

1

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2.. COORDENADAS E DISTÂNCIA NA RETA

Sejam A, B e C pontos arbitrários. Então:
Teorema 1
a. para todo λ > 0 e para toda semirreta de origem A, existe um único D nesta semirreta tal que d(A, D) = λ.
b. d(A, B) ≥ 0.
c. d(A, B) = 0 ⇐⇒ A = B.
d. d(A, B) = d(B, A).
e. d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B)(desigualdade triangular).
f. d(A, B) = d(A, C) + d(C, B) ⇐⇒ A, B e C são colineares e C está entre A e B.
Figura 1: O ponto C está entre A e B, logo d(A, B) = d(A, C) + d(C, B).

2.

Coordenadas e distância na reta
Seja r uma reta.

Dizemos que r é uma reta orientada quando sobre ela se escolheu um sentido de percurso chamado positivo. O sentido oposto sobre a reta r é denominado negativo.
Figura 2: Escolha de um sentido de percurso na reta r.

Sejam A e B pontos na reta r. Dizemos que o ponto B está à direita do ponto A (ou que A