a historia damatematica

AP , isto é, P = A + AP , a condição acima também se escreve: → P ∈ r ⇐ existe t ∈ R tal que P = A + t AB . ⇒ Assim, a reta r é caracterizada pela equação → r : P = A + t AB ; t ∈ R que é chamada equação paramétrica da reta r com parâmetro t. Geometria Analítica - Capítulo 11 182 Equação paramétrica da reta em coordenadas Seja OXY Z um sistema de eixos ortogonais no espaço e considere os pontos A e B em coordenadas: A = (a, b, c) e B = (a , b , c ) Escrevendo o ponto P em coordenadas, P = (x, y, z), temos: P = (x, y, z) ∈ r ⇐ ⇒ (x, y, z) = (a, b, c) + t(a − a, b − b, c − c) , t ∈ R ⇐ ⇒ (x, y, z) = (a + t(a − a), b + t(b − b), c + t(c − c)) , t ∈ R ⇐ ⇒ x = a + t(a − a) , y = b + t(b − b) , z = c + t(c − c) , t ∈ R . Isto é, P = (x, y, z) ∈ r se, e somente se, suas coordenadas x, y e z satisfazem as equações paramétricas da reta r que passa por A = (a, b, c) e B = (a , b , c ) (figura 1):   x = a + t (a − a)   r : y = b + t (b − b) ; t ∈ R    z = c + t (c − c) Exemplo 1 Determinar as equações paramétricas da reta r que contém os pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 1). Solução. → → O vetor AB tem coordenadas AB = (0 − 1, 1 − 0, 1 − 0) = (−1, 1, 1). Logo,   x = 1 + t(−1)   r : y = 0 + t(1) ; t ∈ R,    z = 0 + t(1) ou seja,   x =1−t   ; t∈R r : y =t    z=t são as equações paramétricas da reta r . Definição 1 → → Dizemos que uma reta r é paralela a um vetor v = 0 quando, para → …

por P e Q nos casos a seguir: ¸˜ e (a) P = (1, 3) e Q = (2, −1). (b) P = (5, 4) e Q = (0, 3). 2. Dados o ponto P = (2, −1) e a reta r : y = 3x − 5, encontre a equacao param´ trica da reta que cont´ m o ponto P e ¸˜ e e ´ ` (a) e paralela a reta r. ´ ` (b) e perpendicular a reta r. − 3. Dados o ponto A = (2, 3) e o vetor → = (1, −2). v (a) Escreva equacoes param´ tricas da reta r que passa por A e tem direcao →. ¸˜ e ¸˜ − v (b) Encontre os dois pontos B e C de r de parˆ metros t = 1 e t =…

Geometria Analítica Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 1 O Plano Sistema de Coordenadas y y’ P Py x’ Considere o par de retas perpendiculares x e y; OA = OA’ = unidade; P = ponto qualquer do plano; A’ 1 1 O A Px x Por P, podemos traçar as retas x’ (paralela a x) e y’ (paralela a y), sendo essas retas as únicas possíveis. x’ e y’ interceptam x e y nos pontos Px e…

Universidade Federal da Bahia ´tica Instituto de Matema ´ DISCIPLINA: MATA03 - CALCULO B UNIDADE I - LISTA DE EXERC´ICIOS Atualizada 2013.2 ´ Areas de figuras planas em coordenadas cartesianas [1] Determine a ´area da regi˜ao do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas: (1.1) y = ln x, x = 2 e o eixo Ox (1.2) x = 8 + 2y − y 2 , y = 1, y = 3 e x = 0 (1.3) xy = 4 e x + y = 5 (1.4) y = 2x , y = 2x − x2 , x = 0 e x = 2 (1.5) y = 2x, y = 1 e y = 2 x …

Universidade Federal da Bahia ´ Instituto de Matematica ´ DISCIPLINA: MATA03 - CALCULO B UNIDADE I - LISTA DE EXERC´ ICIOS Atualizada 2010.2 ´ Areas de figuras planas em coordenadas cartesianas [1] Determine a ´rea da regi˜o do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas: a a (1.1) y = ln x, x = 2 e o eixo Ox (1.2) x = 8 + 2y − y 2 , y = 1, y = 3 e x = 0 (1.3) xy = 4 e x + y = 5 (1.4) y = 2x , y = 2x − x2 , x = 0 e x = 2 (1.5) y = 2x, y = 1 e y = 2 …

MATEMÁTICA – A Ficha de revisão nº 4 1. No referencial ortonormado da figura está representada uma circunferência com centro no ponto C ( 5,0 ) . A recta r é paralela ao eixo dos yy e intersecta a circunferência nos pontos P(2, − 3) e R(2, 3) . 1.1. Determine a equação reduzida da recta PC. 1.2. Escreva uma condição que defina a região colorida. 1.3. Determine as coordenadas dos pontos de intersecção da circunferência com a bissectriz dos quadrantes pares. 1.4. Considere…

Oceânica 2 Agosto 2004 Princípios Fundamentais da Transferência de Calor ÍNDICE A. INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 4 B. OBJETIVO ............................................................................................................................ 5 C.…

v(u ) . Mais especificamente, no espaço real tridimensional, tem-se que:     v(u)  v1 (u).i  v 2 (u). j  v 3 (u).k  (v1 (u), v 2 (u), v 3 (u)) , onde: v1 (u ) , v 2 (u ) e v 3 (u ) são funções reais da variável real u as quais são denominadas componentes da função vetorial u.   Portanto, se a cada ponto P(x,y,z) corresponde um vetor v , v é função de (x,y,z); o que será denotado por:     v(x, y, z)  v1 (x, y, z).i  v 2 (x, y, z). j  v 3 (x, y, z).k  …

Universidade Federal da Bahia ´ Instituto de Matematica ´ DISCIPLINA: MATA03 - CALCULO B UNIDADE I - LISTA DE EXERC´ ICIOS Atualizada 2010.1 ´ Areas de figuras planas em coordenadas cartesianas [1] Determine a ´rea da regi˜o do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas: a a (1.1) y = ln x, x = 2 e o eixo Ox (1.3) xy = 4 e x + y = 5 2 x (1.7) y = x3 − 3x e y = 2x2 (1.5) y = 2x, y = 1 e y = (1.9) f (x) = x|x| e g(x) = x3 (1.2) x = 8 + 2y − y 2 , y = 1,…

trocarmos os eixos entre si chegaremos a seguinte equação: Chegando a seguinte representação gráfica: 2.2 Equação paramétrica As equações cartesianas canônicas das parábolas se caracterizam por apresentar uma das variáveis no primeiro grau. Isso permite expressar essa variável como dependente da variável do segundo grau. Assim, por exemplo, na parábola P de equação cartesiana: . Simplificando: de vértice (a; b) e reta-focal paralela ao eixo OY, escolhendo a variável…