Autovalores E Autovetores

2 RESUMO TEÓRICO Autovalores e autovetores Definição Um vetor é autovetor de uma matriz se A =  . O número  é chamado autovalor de A associado a . Como A = (A – ) = Cálculo da diagonalização A = PD 1º) Calculamos os autovalores e os autovetores de A. 2º) A matriz D é formada pelo autovalores, dispostos na diagonal principal e com os demais elementos nulos. 3º) A matriz P é formada pelos autovetores, mantendo a ordem em que seus respectivos autovalores foram…

1 (3) Portanto, v ´ um autovetor da matriz A associado ao autovalor λ. e Os autovalores s˜o as solu¸˜es da equa¸˜o caracter´ a co ca ıstica dada por |A − λ I| = 0. Ou seja, o autovalor λ ´ a ra´ do polinˆmio caracter´ e ız o ıstico p(λ) = |A − λ I| . 2.1. An´lise do espectro a O procedimento da resolu¸˜o depende da an´lise do espectro1 da matriz A e tamb´m das ca a e dimens˜o de cada auto-espa¸o2 . Basicamente, no que se refere aos autovalores, h´ trˆs casos a…

1 0 (a) A matriz da transformação na base α = 0 0 −1 0 0 0 , , 0 1 0 1 0 0 0 0 , 0 0 0 −2 +0 0 0 0 −2 (b) O polinômio característico. (c) Os autovalores e autovetores (d) As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor. Solução: (a) 1 0 T 0 0 = 0 0 −1 0 = 0 −1 0 0 = 0 0 0 −2 = −2 0 0 0 T 0 1 T T 0 0 1 0 1 0 =0 0 0 0 1 0 0 1 0

Batistela Álgebra Matricial Tópico 1 - Revisão de Matrizes 2 - Sistemas Lineares 3 – Utilização do Matlab 4 – Vetores e Combinações Lineares 5 – Espaços e Bases 6 – Transformações Lineares 7 – Transformações Lineares Planas 8 – Autovalores e Autovetores 9 – Diagonalização de Matrizes ÁLGEBRA MATRICIAL Página 2 4 13 23 29 37 45 54 67 1 Tópico 1 – Revisão de Matrizes ❶ Construa as seguintes matrizes: ⒜ N 3 × 3 , onde n i j = 2i + 5j ⒝ A = (a i j )3 × 3…

Cap´ıtulo 6 Autovalores e Autovetores 6.1 Introdu¸c˜ao Neste cap´ıtulo, apresentaremos alguns dos m´etodos utilizados para a solu¸c˜ao do problema do autovalor, i.e., o sistema de n equa¸c˜oes lineares Ax = λx (6.1) para o qual procuramos um vetor solu¸c˜ao x tal que xi
= 0 para pelo menos algum i, ou sej a, uma solu¸c˜ao n˜ao-trivial. Para que tal seja poss´ıvel, ´e necess´ario que det(A − λI) = 0 (6.2) a qual ´e uma equa¸c˜ao polinomial de grau n na vari´avel λ, chamada de…

AUTOVALORES,AUTOVETORES E BASE. EXERCÍCIOS: Lembrar que: Autovetores de A associados a autovalores distintos são linearmente independentes. 1) Ache os autovalores e autovetores ,se possível: a) A = 2 0 0 0 1 0 0 0 2 b) B = 2 1 -1 0 1 1 0 0 2 c) A= 0 -1 1 0 2)Ache os autovalores e os autovetores e uma base de autovetores para as matrizes a) A= 4 5 2 1 b) A = 3 0 -4 0 3 5 0 0 -1 RESPOSTAS: 1) a)Primeiro achar os autovalores: |A-λI | = det 2-λ 0 0 0 1- λ 0 0 0 2-λ = (2-λ)(1-λ)(2-λ) =…

– Rotação levógira em um ângulo θ definido; Tθ: IR2 Þ IR2, (x,y) ® (xcosθ - ysenθ, xsenθ +ycosθ) 8 – Cisalhamento na direção do eixo Ox em um fator escalar k; T: IR2 Þ IR2, (x,y) ® (x+ky,y) AUTOVALORES E AUTOVETORES É uma transformação especial T : V W. (I) T(v) = v Onde,  é o autovalor (escalar) e v é autovetor (se v 0). Como toda transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um vetor então: (II) T(v) = Av Igualando (I) e (II), tem-se: Av = v…

......................................... 1 2- Transformação Linear Plano ................................................................. 4 3- Matriz de uma Transformação Linear.................................................... 8 4- Autovalores e Autovetores .................................................................. 14 Bibliografia ............................................................................................... 24 XXXXXXXX/RR Faculdade XXXXXXXXXXXXX 2011 …

de um subespaço W⊆ℝn. A projeção ortogonal de um vetor v→ sobre um vetor não nulo w→ é definida como: w→1=projw→v→=〈v→,w→〉||w→||2⋅w→. sendo〈.〉 o produto interno e ||.|| a norma do vetor. Autovalores e autovetores - É uma transformação especial T : V W. (I) T(v) = v Onde, é o autovalor (escalar) e v é autovetor (se v 0). Como toda transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um vetor então: (II) T(v) = Av Igualando (I) e (II), tem-se: Av = v ou Av – v =…

Matrizes 2 2 - Sistemas Lineares 4 3 – Utilização do Matlab 9 4 – Vetores e Combinações Lineares 18 5 – Espaços e Bases 24 6 – Transformações Lineares 32 7 – Transformações Lineares Planas 40 8 – Autovalores e Autovetores 49 9 – Diagonalização de Matrizes 62 10 – Decomposição LU 68 ÁLGEBRA MATRICIAL 1 Tópico 1 – Revisão de Matrizes Construa as seguintes matrizes: N 3 × 3 , onde n i j = 2i + 5j A = (a i j )3 × 3 ,…