Transforma es Lineares

Transformações Lineares
Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear.
Assim como no Cálculo, também há funções em que os conjuntos domínio e contradomínio são espaços vetoriais, iguais ou não. São as chamadas funções, transformações ou aplicações lineares, as quais satisfazem dois axiomas principais, sendo T uma transformação linear, u e v dois vetores do espaço vetorial V, e U o espaço vetorial imagem:

I) O valor de T para o vetor w=u+v é igual a soma dos valores de T aplicada em u somada a T aplicada em v, ou seja, T(w) = T(u) + T(v);
II) Dada a escalar α, T aplicada à z = αu é igual a α vezes T aplicada em u; T(z) = αT(u) .

Estas duas condições são chamadas condições de linearidade, consideradas as operações usuais de soma e produto por escalar. Vejamos alguns exemplos de funções que são ou não transformações lineares:

1 – T: IR Þ IR, x ® x2, não é transformação linear, pois não é válido o segundo axioma, ou seja T(αu)¹ αT(u).
Um contra exemplo que confirma a não validade é usando a escalar 2 e o vetor 1.
2 ∙ 12 = 2 ¹ (2 ∙ 1)2 = 4.

2 - T: IR2 Þ IR2, (x,y) ® (-y,x) é transformação linear. Verificando as condições I) e II), usaremos dois vetores, u = (a, b) e v = (c, d), e a escalar k; u,v E IR2, e K E IR.
T(u + v) = T([ (a, b) + (c, d) ]) = T(a+c, b+d) = (-b-d, a+c)
T(u)+T(v) = T(a, b) + T(c, d) = (-b, a) + (-d, c) = (-b-d, a+c)
Logo, a primeira condição é verificada. k ∙ T(u) = k ∙ T(a, b) = k ∙ (-b, a) = (-kb, ka)
T(ku) = T([k ∙ (a, b)]) = T(ka, kb) = (-kb, ka)
Destarte, foi verificada também a segunda igualdade.
É importante salientar que, assim como todas as definições de espaço vetorial, subespaço vetorial,base e outras na Álgebra Linear, para que