Engenheiro

´
Algebra Linear
Licenciaturas: Eng. Biol´gica, Eng. Ambiente, Eng. Qu´ o ımica, Qu´ ımica ¯
1o ano — 2005/06

Resolu¸˜es/Solu¸˜es da 10a lista de exerc´ co co ıcios Problema 1. Diga, justificando, quais das seguintes fun¸˜es s˜o transforma¸˜es co a co lineares.
a)
b)
c)
d)
e)
f)

T
T
T
T
T
T

: R2
: R2
: R3
: R3
: R3
: R2

→ R2
→ R2
→ R2
→ R3
→ R2
→ R3

tal tal tal tal tal tal que que que que que que T (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , 3x1 − x2 )
T (x1 , x2 ) = (1 + x2 , 3x1 − 1).
T (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 − x2 + x3 , x2 − 4x3 ).
T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x2 x3 , 3x2 , x1 − 4x3 ).
2
T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 x3 , 5x2 ).
2
T (x1 , x2 ) = (x1 − x2 , 3x2 , x1 + 5x2 ).

Resolu¸˜o: ca a) T : R2 → R2 ´ linear se para quaisquer x, y ∈ R2 e quaisquer escalares e α, β ∈ R se tem
T (αx + βy) = αT (x) + βT (y).
Ent˜o, considerando x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ) tem-se a T (αx + βy) = T ((αx1 + βy1 , αx2 + βy2 ))
= ((αx1 + βy1 + αx2 + βy2 , 3(αx1 + βy1 ) − αx2 − βy2 )
= (αx1 + αx2 , 3αx1 − αx2 ) + (βy1 + βy2 , 3βy1 − βy2 )
= αT (x1 , x2 ) + βT (y1 , y2 ) = αT (x) + βT (y).
Ou seja T ´ linear. e b) T n˜o ´ linear uma vez que T (0, 0) = (1, −1) = (0, 0). a e
c) T ´ linear (verifique por exemplo, usando a defini¸˜o tal como em a)). e ca
d) T n˜o ´ linear j´ que, por exemplo, para x = (0, 1, 0) e α ∈ R n˜o se tem a e a a
T ((0, α, 0) = αT (0, 1, 0) mas sim
T ((0, α, 0)) = (0, 3α2 , 0) = α2 (0, 3, 0) = α2 T (0, 1, 0)
e) T n˜o ´ linear. Encontre, por exemplo, um vector x ∈ R3 tal que T (αx) = a e αT (x).

AL 2005/2006

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f) T ´ linear. Fa¸a a prova usando a defini¸˜o (tal como na al´ e c ca ınea a)) ou verifique que pode escrever T na forma T (x) = Ax, onde A ´ a matriz e 

1 −1
0 3 
1 5
Problema 2. Considere os vectores v1 , v2 e v3 do espa¸o linear W , e T : W → R3 c a transforma¸˜o linear dada por T (v1 ) = (1, −1, 2), T (v2 ) = (0, 3, 2), T (v3 ) = ca (−3, 1, 2).