Transforma es Lineares

FACULDADE DE TECNOLOGIA SENAI CIMATEC
ENGENHARIA ____________
Álgebra Linear - Prof. Marcele Moreno
Discente: ______________________________________________ Data: ___/___/2014

Transformações Lineares No Ensino Médio é comum trabalharmos com funções de IR em IR, de apenas uma variável. Mas vários problemas são modelados e resolvidos por fórmulas que dependem de mais de uma variável. Por essa razão, vamos tratar agora de funções que têm como domínio e contradomínio outros espaços vetoriais, como o IR2, IR3, M2x2, etc. Assim, tanto os elementos do domínio ou do contradomínio poderão ser “vetores” e as funções deste tipo são também chamadas de funções vetoriais. Uma transformação , é uma função que associa a todo vetor um único vetor .

Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação é chamada de transformação linear se:

I.

II.

Quando V=W, a função é também chamada de operador linear.

Exemplo 1: , definida por é uma transformação linear.
De fato, sejam . Então:

I. = = = =

II.

Exemplo 2: , definida por é uma transformação linear?

Exemplo 3: A transformação , é linear?

Proposições:
Toda transformação linear é da forma de
Toda transformação linear é da forma de
As transformações lineares só contém expressões com monômios de grau 1.
Toda transformação linear leva o vetor nulo no vetor nulo.
Se é uma transformação linear, então:
i.
ii. iii. Matriz Associada a uma transformação Linear

Vimos que as transformações lineares são do tipo , com a, b, c e d constantes. Podemos escrever os vetores em forma de coluna, e de modo análogo, escrevemos . Assim a função pode ser vista como um produto de matrizes , e a matriz é a matriz associada à transformação T, e pode ser denotada pelo símbolo [T]
.

Ex.1: Dada T(x, y) = (x – 2y, 3x+2y), qual a matriz A que a representa?
Neste caso temos que encontrar uma