Transforma es Lineares

Transformações Lineares

Introdução

Conhecemos funções ordinárias tais como a função f definida pela equação f(x) = x2. Essa função transforma um número real em outro número real, no seu quadrado. Por exemplo, o número 2 é transformado em 4, isto é, f(2) = 4. Agora, serão mostradas funções que transformam vetores em vetores.
Em geral, se V e W são espaços vetoriais, uma função ou transformação T de V para W é uma regra que associa a todo vetor x em V um único vetor em W que é denotado por T(x).
Se x é um vetor em V, então T(x) é chamada a IMAGEM de x sobre a transformação T.
Por exemplo, se T é uma transformação do para o definida pela equação:

T(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 + x3)

Então T leva o vetor (1,1,1) no vetor T(1,1,1) = (2,2) e o vetor (3,2,0) no vetor T(3,2,0) = (5,2).
Uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear.
São um tipo especial de função (ou aplicação), onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais reais. Assim, tanto a variável independente como a variável dependente são vetores, razão pela qual essas funções são chamadas vetoriais.
As funções vetoriais lineares serão chamadas de transformações lineares.

Definição
Sejam V e W espaços vetoriais reais. Dizemos que uma função T :V W é uma transformação linear se a função T preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar, isto é, se os seguintes axiomas são satisfeitos:
TL1. Para quaisquer v,u V , T(v + u) = T(v) + T(u) .
TL2. Para todo v V e para todo α , T(α . v) = α .T(v) .
Para dizer que T é uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W, escreve-se T:VW. Sendo T uma função, cada vetor v V tem um só vetor imagem w W, que será indicado por w = T (v).
Usando os dois axiomas simultaneamente, chegamos a uma terceira propriedade:
Sejam e , vetores em V e