Transforma Es Lineares

Transformações Lineares
Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Diz-se que F:V W é uma aplicação linear se satisfaz às duas propriedades seguintes:
Para quaisquer u,vU: F(u+v)=F(u)+F(v).
Para qualquer kR e qualquer vU: F(kv)=k.F(v).
Definição alternativa1:
Sejam V e W espaços vetoriais. F:VW é uma aplicação linear se, para quaisquer u,vU e quaisquer a,bR se tem que
F(au+bv) = aF(u) + bF(v)
Definição alternativa 2: Sejam V e W espaços vetoriais. F:V W é uma aplicação linear se, para quaisquer u,v U e qualquer b R se tem que
F(u+bv) = F(u) + bF(v)
Graficamente temos algo como:

Observações importantes:
Uma aplicação linear também recebe o nome de Transformação linear.
Na literatura mais recente sobre Álgebra Linear, quando V=W, a aplicação F recebe o nome de operador linear e quando W=R, recebe o nome de funcional linear.
Se F:V W é uma aplicação linear, então F(0)=0, onde o primeiro 0 é o vetor nulo de V e o segundo 0 é o vetor nulo de W.
Para provar que uma aplicação é linear, devemos demonstrar que valem as duas propriedades descritas na definição, mas para mostrar que uma transformação não é linear, basta exibir a propriedade que não é satisfeita.
Teorema sobre a composta de transformações lineares
Teorema: Sejam F:UV e G:VW transformações lineares. A composta GoF:UW também é uma transformação linear.
Demonstração: Sejam u,vU e kR. Assim
(GoF)(u+kv)
=
G(F(u+kv))
Definição de composta =
G(F(u)+F(kv))
Linearidade de F =
G(F(u))+G(k.F(v))
Aditividade de G =
G(F(u))+k.G(F(v))
Homotetia de G =
(GoF)(u)+k.(GoF)(v)
Definição de composta
Exemplo: Dadas as transformações lineares S:R³R² definida por S(x,y,z)=(x,y+z) e T:R²R³ definida por T(x, y)=(3x,2y,x+y), a transformação composta P:R² R² tal que P=SoT é linear, pois
(SoT)(x,y) = S(T(x,y))=S(3x,2y,x+y)=(3x,2y+x+y)=(3x,3y+x)
Teorema: Sejam V e W espaços vetoriais reais, uma base de V denotada por {v1,...,vn} e {w1,w2,...,wn} um conjunto de elementos de W. Existe uma única transformação linear T:VW tal que