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Algebra Linear I - Aula 15
1. Transforma¸˜o linear inversa. ca 2. Condi¸˜es para a existˆncia da inversa. co e

Roteiro
1

Transforma¸˜o linear inversa ca Defini¸˜o 1. Dada uma transforma¸˜o linear T : Rn → Rn sua inversa ´ ca ca e uma nova transforma¸˜o linear T −1 que verifica a seguinte propriedade: para ca todo vetor u,
T −1 ◦ T (u) = T ◦ T −1 (u) = u,

(isto ´, T −1 ◦ T = T ◦ T −1 = Id). e Observamos que, em geral, h´ transforma¸˜es lineares que n˜o tˆm ina co a e versa. Por exemplo, considere uma transforma¸˜o linear T : R3 → R3 tal que ca T (1, 1, 1) = ¯ por exemplo, a transforma¸˜o linear
0,
ca
T (x, y, z) = (x − y, x − z, y − z).
Se a transforma¸˜o linear inversa de T existisse, T −1 deveria verificar ca T −1 (0, 0, 0) = (1, 1, 1), pois T −1 ◦ T (1, 1, 1) = (1, 1, 1), isto ´, T −1 (0, 0, 0) = (1, 1, 1). Mas se T −1 for e linear ent˜o T −1 (0, 0, 0) = ¯ a 0.
Em qualquer caso, mesmo se a T −1 n˜o for linear haveria um problema: a como T ´ linear, temos T (1, 1, 1) = ¯ = T (2, 2, 2). Portanto, T −1 (0, 0, 0) e 0 deveria tomar dois valores, (1, 1, 1) e (2, 2, 2), o que ´ imposs´ e ıvel.
Na pr´xima se¸˜o veremos condi¸˜es para a existˆncia da transforma¸˜o o ca co e ca linear inversa T −1 .
Observe que se a transforma¸˜o inversa T −1 existe ent˜o ´ uma transca a e forma¸˜o linear: Suponha que T (u1 ) = v1 e T (u2 ) = v2 , logo T (u1 + u2 ) = ca v1 + v2 . Isto significa que,
T −1 (v1 ) = u1 ,

T −1 (v2 ) = u2 ,
1

T −1 (v1 + v2 ) = u1 + u2 .

Finalmente,
T −1 (v1 + v2 ) = u1 + u2 = T −1 (v1 ) + T −1 (v2 ).
Para verificar a condi¸˜o ca T −1 (σ v1 ) = σ T −1 (v1 ) observe que T (σ u1 ) = σ T (u1 ) = σ v1 . Logo
T −1 (σ v1 ) = σ u1 = σ T −1 (v1 ).
Finalmente, observe que
[T −1 ] ◦ [T ] = [T ] ◦ [T −1 ] = Id.
Logo, usando as propriedades do determinante, obtemos que:
• det[T −1 ] = 1/ det[T ].
• Se T tem inversa ent˜o det[T ] = 0, (de fato veremos que isto ´ condi¸˜o a e
ca