Introdução

Resolu¸˜o de ca sistemas de EDO’s lineares de primeira ordem
F´bio Gon¸alves a c
13 de setembro de 2011
Resumo
O objetivo deste texto ´ apontar o procedimento que deve ser tomado na resolu¸˜o de um e ca sistema de equa¸˜es diferenciais lineares de primeira ordem, de acordo com trˆs casos principais. co e
1. O sistema de EDO’s lineares de primeira ordem.
O problema de interesse ´ dado por um sistema de equa¸˜es diferenciais lineares de primeira e co ordem que podem ser ou n˜o acopladas. Quero dizer, uma equa¸˜o pode ou n˜o depender das a ca a demais equa¸˜es. co Por simplicidade, trataremos um sistema com 3 equa¸˜es e 3 fun¸˜es. No caso mais geral co co
(n equa¸˜es com n fun¸˜es) os procedimentos s˜o an´logos. Sendo assim, considere o seguinte co co a a sistema: 
 y1 (x) =






a11 y1 + a12 y2 + a13 y3

y2 (x) = a21 y1 + a22 y2 + a23 y3








(1)

y3 (x) = a31 y1 + a32 y2 + a33 y3

Na forma matricial este sistema pode ser escrito como Y = A Y, isto ´, e y1 (x)








 y2 (x)













 a21





y3 (x)

=

a11 a12 a13 a22 



 a23 



y1 (x)






 y2 (x)










a31 a32 a33

(2)

y3 (x)

onde Y ´ o vetor das fun¸˜es e A ´ a matrix dos coeficientes. e co e 2. Metodologia da resolu¸˜o do sistema de EDO ca Inicialmente, vamos sempre buscar solu¸˜es do sistema (2) na forma Y(x) = eλ x v, onde v ´ um co e vetor n˜o nulo de IR3 . Repare que o vetor nulo ´ solu¸˜o do sistema (2) e n˜o vamos esquecer a e ca a disso quando escrevermos a solu¸˜o geral. No entanto, neste momento, vamos em busca de ca solu¸˜es n˜o triviais. co a
´
E importante ressaltar que teoremas de existˆncia de solu¸˜es garantem que o sistema de e co
EDO (1) admite trˆs solu¸˜es linearmente independentes. e co
Para que Y(x) = eλ x v, seja solu¸˜o do sistema Y = A Y, ´ preciso que ca e λ eλ