algebra linear

Cap´ıtulo 6
Autovalores e Autovetores
6.1 Introdu¸c˜ao
Neste cap´ıtulo, apresentaremos alguns dos m´etodos utilizados para a solu¸c˜ao do problema do autovalor, i.e., o sistema de n equa¸c˜oes lineares
Ax = λx (6.1) para o qual procuramos um vetor solu¸c˜ao x tal que xi
= 0 para pelo menos algum i, ou sej a, uma solu¸c˜ao n˜ao-trivial. Para que tal seja poss´ıvel, ´e necess´ario que det(A − λI) = 0 (6.2) a qual ´e uma equa¸c˜ao polinomial de grau n na vari´avel λ, chamada de equa¸c˜ao caracter´ıstica de
A; o polinˆomio det(A − λI) ´e chamado de polinˆomio caracter´ıstico de A.
As n ra´ızes de (6.2) s˜ao chamadas de autovalores, ra´ızes latentes ou valores caracter´ısticos de
A. A cada raiz λ corresponde um vetor x ∈ ICn
= 0 que satisfaz a equa¸c˜ao (6.1), o qual ´e chamado de autovetor, vetor latente ou vetor caracter´ıstico de A. Note que, se x ´e um autovetor de A, ent˜ao kx, onde k ∈ IR, tamb´em ´e, pois
Akx = kAx = λkx = kλx.
Costumeiramente os autovetores s˜ao normalizados, i.e. || x || = 1 em alguma norma escolhida (o que pode ser feito pela rela¸c˜ao acima).
Se todas as ra´ızes de (6.2) s˜ao distintas entre si, ent˜ao isso implica em que a matriz A apresenta um conjunto completo de autovetores linearmente independentes (L.I.). No entanto, mesmo para casos em que os autovalores n˜ao s˜ao todos distintos, podemos encontrar um conjunto completo de autovetores L.I.
Podemos tamb´em calcular os autovalores da matriz inversa de A, A−1, a partir dos autovalores de A. Se multiplicarmos a equa¸c˜ao (6.1) `a esquerda por A−1, temos x = λA−1x ou A−1x = 1 λx. (6.3)
Essa ´ultima equa¸c˜ao nos diz que 1 λ ´e autovalor de A−1, onde λ ´e um autovalor de A, com o autovetor x correspondente.
Problemas envolvendo autovalores e autovetores surgem em in´umeras aplica¸c˜oes, como podemos ver nos exemplos que seguem, conforme apresentados em [6].
110Introdu¸c˜ao ao C´alculo Num´erico Autovalores e Autovetores
Exemplo 6.1 O estudo das vibra¸c˜oes