Derivada

ent˜o, ∀x ∈ Cn, o n´mero a u xH Ax ∈ R. 2. Todo autovalor de uma matriz hermitiana ´ real. e 3. Os autovetores de uma matriz hermitiana correspondentes a autovalores distintos s˜o ortogonais. a 1 COE745, c Amit Bhaya Aula 7: Roteiro para estudo Matrizes sim´tricas e teorema espectral e Conclus˜o (da 3a prop. na p´gina anterior): Uma a a matriz real sim´trica A = AT pode ser fatorada como e − → T a A = QΛQ – os AV o.n. de A s˜o as colunas de Q, e os AV de A formam a diagonal de Λ. O fato acima A = QΛQT ´ conhecida como teorema e espectral, pois Λ cont´m o conjunto de AV (:= e espectro de A), ou ainda como teorema de eixos principais. Escrevendo A = λ1q1qT + · · · + λnqnqT 1 n (1) vemos que A pode ser escrita como uma combina¸˜o ca linear (coefs. s˜o os AV) de n matrizes projetoras a (de posto um), que projetam nas n autodire¸˜es o.n. co Refere-se a (1) como decomposi¸˜o espectral de A. ca 2 COE745, c Amit Bhaya Aula 7: Roteiro para estudo Matrizes unit´rias a Uma matriz U ´ denominada unit´ria se UH U = e a UUH = I. Em outras palavras, U possui colunas o.n. e linhas o.n. e UH = U−1. Propriedades de matrizes unit´rias: a 1. Matrizes unit´rias preservam ˆngulo e comprimento a a (i.e., preservam o produto interno). (Ux)H Uy = xH y ⇒ Ux = x . 2. Todo autovalor de A tem valor absoluto 1. (|λi(A)| = 1, ∀i) 3. Autovetores correspondendo a autovalores diferentes s˜o ortogonais. a K ´…

Exponencial de uma matriz Ulysses Sodr´ e Londrina-PR, 21 de Agosto de 2001; Arquivo: expA.tex Conte´ do u 1 Introdu¸˜o ` exponencial de uma matriz ca a 2 2 Polinˆmio caracter´ o ıstico, autovalores e autovetores 2 3 Teorema de Cayley-Hamilton 3 4 Potˆncias de uma matriz quadrada e 3 5 Teoria misturada com um exemplo num´rico e 4 6 exp(tA) onde A tem autovalores distintos 5 7 exp(tA) onde A tem autovalores repetidos 5 8 Matriz (ordem…

(3) Portanto, v ´ um autovetor da matriz A associado ao autovalor λ. e Os autovalores s˜o as solu¸˜es da equa¸˜o caracter´ a co ca ıstica dada por |A − λ I| = 0. Ou seja, o autovalor λ ´ a ra´ do polinˆmio caracter´ e ız o ıstico p(λ) = |A − λ I| . 2.1. An´lise do espectro a O procedimento da resolu¸˜o depende da an´lise do espectro1 da matriz A e tamb´m das ca a e dimens˜o de cada auto-espa¸o2 . Basicamente, no que se refere aos autovalores, h´ trˆs casos a a c …

devem ser iguais. D.1.8 Autovalores e autovetores de um operador algébrico linear Definição: Um vetor X = Z é autovetor de um operador algébrico linear T se T X for colinear com X, isso é, se T X = λX. O número λ denomina-se autovalor de T , associado ao autovetor X. O autovalor λ associado ao autovetor X é calculado pela equação: (D.6) (T − λI) X = Z. Como procura-se um autovetor X não trivial é necessário que o núcleo de (T − λI) não seja trivial, ou, de forma equivalente, que:…

em uma nova forma com as mesmas proprie¯ dades da original, mas com uma estrutura espec´fica, e.g., A na forma diagonal. ı ´ • Autovalores – um n´ mero λi ∈ C e denominado de autovalor de A ∈ Rn×n se u existe um vetor n˜ o nulo x tal que Ax = λix, ou de forma equivalente: a (A − λiIn)x = 0. – Todos os λ que satisfazem a relacao acima s˜ o ra´zes da seguinte equacao: ¸˜ a ı ¸˜ ∆(λ) = det(λIn − A) = 0. ´ A equacao acima e conhecida como equacao caracter´stica (EC) do sistema. ¸˜ ¸˜ ı ´ –…

geométrica das soluções de (1) em termos de autovalores e a b autovetores da matriz dos coeficientes A = . c d Suponhamos que a origem seja uma singularidade isolada do sistema (1), ou seja, o determinante ∆ = ad − bc ≠ 0. De(1), podemos escrever: x´ a b x = , ou seja, X ' = AX (2). y´ c d y Isso nos lembra o caso da equação diferencial x’ = ax, cuja solução geral é x(t) = Keat; a,k:constantes. Tentemos soluções da forma c1 x(t ) = c1e λt . X (t ) = Ce λt ⇔ X (t ) = e λt ⇔ c2 y (t ) = c…

Grande fórmula para determinantes n por n. Det(A) é a soma de n! termos, um termo para cada permutação P das colunas. Cada termo é o produto abaixo da diagonal da matriz reordenada vezes det(P) = ± 1. Matriz de bloco. Uma matriz de blocos pode ser dividida em blocos matriciais por cortes entre as linhas e/ou entre as colunas. A multiplicação de bloco de AB é permitida se as formas dos blocos assim o permitirem (as colunas de A e as linhas de B devem constituir blocos coincidentes).…

5, 9, 10, 15 35, 36 e 37 6.1 Definição de Transformada de Laplace 6.1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 21-24, 26, 27 6.2 Solução de P.V.I. 6.2: 1-3, 5, 8, 9, 11, 13, 21, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 36, 37 6.3 Funções Degrau 6.3: 1, 3, 6,13-16, 19, 21-23 25-32, 34,35, 37, 38 6.4-6.5 Equações sob ação de funções descontínuas; Função Impulso 6.4: 1, 5, 7, 9, 13 6.5: 1, 2, 4, 5, 11 6.6 Integral de Convolução 6.6: 2-11, 13,14,16,18,21, 22 …

Engenharia Controle e Controle, ministrada pelo professor Leonardo Alvarenga Lopes Santos. CONSELHEIRO LAFAIETE SETEMBRO DE 2012 Sumário A-1 INTRODUÇÃO 4 Entrada de sentenças longas que não cabem numa única linha 4 Entrando com mais de uma sentença numa única linha 4 Selecionando o formato de visualização de dados 4 Como gravar variáveis ao sair do Matlab 5 A-2 TRAÇANDO CURVAS DE RESPOSTA 5 Traçando curvas múltiplas 6 Acrescentado linhas de grade, titulo do gráfico,…

Problema 3.1 Encontre os autovalores e os autovetores de . Suponha que o elétron está no estado de spin . Se é medido, qual é a probabilidade do resultado ? Solução: O vetor de estado pode ser escrito como: ........................................................................................................................... Lembre-se: ........................................................................................................................... Lembre-se: .…