Autovalores Repetidos

Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 7.1.2 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . 7.1.3 Diagonalizacao . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 7.1.4 Diagonalizacao de Operadores (opcional) ¸˜ ˆ 7.1.5 Forma Canonica de Jordan (opcional) . . ˜ de Matrizes Simetricas . . . . . ´ 7.2 Diagonalizacao ¸ 7.2.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 7.2.2 Matrizes Ortogonais . . . . . . . . . . . ˆ Apendice IV: Autovalores Complexos . . . . . . ˆ 7.3 Aplicacao na…

express˜ o em an´ lise tensorial e um processo conhecido como contracao. Dois ´ndices, um ¸˜ a a ¸˜ ı covariante e o outro contravariante, s˜ o igualados um ao outro, e ent˜ o (como subentendido pela convencao de a a ¸˜ soma) somamos sobre esse ´ndice repetido. Por exemplo, vamos contrair o tensor misto de segunda ordem B i j , ı B i i = ∂xl k ∂x i ∂xl k B l= B l k ∂x i ∂x ∂xk (2.77) usando a Equacao (2.71) e, ent˜ o, pela Equacao (2.72), ¸˜ a ¸˜ B i i = δl k B k l = B k…

estabilidade de um ponto de equilíbrio, e fazer sua classificação, é através da localização dos autovalores da matriz ࡭ encontrada por meio da equação (2.18). Em alguns casos, é possível analisar a estabilidade de um sistema fazendo uma relação entre o sistema linearizado e o sistema original não linear. Slotine e Li (1991) definem que: - Se o sistema linearizado é estritamente estável, isto é, todos os autovalores da matriz ࡭ estão estritamente no lado esquerdo do plano complexo…

dessa express˜ao em an´alise tensorial e´ um processo conhecido como contrac¸a˜ o. Dois ´ındices, um covariante e o outro contravariante, s˜ao igualados um ao outro, e ent˜ao (como subentendido pela convenc¸a˜ o de soma) somamos sobre esse ´ındice repetido. Por exemplo, vamos contrair o tensor misto de segunda ordem B i j , B i i = ∂xl k ∂x i ∂xl k B l= B l k i ∂x ∂x ∂xk (2.77) usando a Equac¸a˜ o (2.71) e, ent˜ao, pela Equac¸a˜ o (2.72), B i i = δl k B k l = B k k . (2.78)…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 4.1.1 Motivacao: Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares . . . . . . . . . . . . . ¸˜ ¸˜ 4.1.2 Operadores e Matrizes Diagonaliz´ veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 4.1.3 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Subespacos Invariantes e o Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . ¸ 4.1.5 Aplicacao: C´ lculo das Potˆ ncias de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 4.1.1 Motivacao: Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares . . . . . . . . . . . . . ¸˜ ¸˜ 4.1.2 Operadores e Matrizes Diagonaliz´ veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 4.1.3 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Subespacos Invariantes e o Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . ¸ 4.1.5 Aplicacao: C´ lculo das Potˆ ncias de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 ca 4.1.1 Motiva¸˜o: Sistemas de Equa¸oes Diferenciais Lineares . . . . . . . . . . . 310 ca c˜ 4.1.2 Operadores e Matrizes Diagonaliz´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 a 4.1.3 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 4.1.4 Subespa¸os Invariantes e o Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . 330 c 4.1.5 Aplica¸˜o: C´lculo das Potˆncias de uma Matriz . . . . . . . . . . . .…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 4.1.1 Motivacao: Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares . . . . . . . . . . . . . ¸˜ ¸˜ 4.1.2 Operadores e Matrizes Diagonaliz´ veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 4.1.3 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Subespacos Invariantes e o Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . ¸ 4.1.5 Aplicacao: C´ lculo das Potˆ ncias de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 4.1.1 Motivacao: Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares . . . . . . . . . . . . . ¸˜ ¸˜ 4.1.2 Operadores e Matrizes Diagonaliz´ veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 4.1.3 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Subespacos Invariantes e o Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . ¸ 4.1.5 Aplicacao: C´ lculo das Potˆ ncias de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 4.1.1 Motivacao: Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares . . . . . . . . . . . . . ¸˜ ¸˜ 4.1.2 Operadores e Matrizes Diagonaliz´ veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 4.1.3 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Subespacos Invariantes e o Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . ¸ 4.1.5 Aplicacao: C´ lculo das Potˆ ncias de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . .