expotencial de uma matriz

Exponencial de uma matriz
Ulysses Sodr´ e Londrina-PR, 21 de Agosto de 2001; Arquivo: expA.tex

Conte´ do u 1 Introdu¸˜o ` exponencial de uma matriz ca a

2

2 Polinˆmio caracter´ o ıstico, autovalores e autovetores

2

3 Teorema de Cayley-Hamilton

3

4 Potˆncias de uma matriz quadrada e 3

5 Teoria misturada com um exemplo num´rico e 4

6 exp(tA) onde A tem autovalores distintos

5

7 exp(tA) onde A tem autovalores repetidos

5

8 Matriz (ordem 3) com autovalores distintos

6

9 Matriz com um autovalor duplo e um simples

6

10 Matriz com o autovalor triplo

7

11 Propriedades da exponencial de uma matriz

7

12 A equa¸˜o diferencial X = AX (ordem(A)=2) ca 8

13 A equa¸˜o diferencial X = AX (ordem(A)=n) ca 8

14 A equa¸˜o linear n˜o homogˆnea X = AX + f (t) ca a e 9

Se¸˜o 1 Introdu¸˜o ` exponencial de uma matriz ca ca a

1

2

Introdu¸˜o ` exponencial de uma matriz ca a

A exponencial de uma matriz real tA de ordem n, pode ser obtida por v´rios modos a distintos. Como exemplo, vamos apresentar trˆs formas: e (1) Uma s´rie infinita de potˆncias de A e e da forma:

(3) Pelo Teorema de Cayley-Hamilton: n−1 etA = k=0 sendo os escalares αk obtidos tal que para cada autovalor λ:

∞

etA =

1 k k t A k=0 k!

αk tk Ak

n−1

αk (tλ)k

etλ = k=0 Em Equa¸˜es Diferenciais Ordin´rias, ´ co a e prefer´ ıvel utilizar o Teorema de CayleyHamilton que simplifica as opera¸˜es. Para co etA = P eD P −1 este estudo, trabalharemos somente com onde D = D(tλ1 , tλ2 , ..., tλn ) ´ a ma- matrizes quadradas A de ordem n que e triz possui em sua diagonal os auto- possuem autovalores reais. Na sequˆncia, e valores tλ1 , tλ2 , ..., tλn da matriz tA. apresentaremos alguns preliminares.

(2) Pelo m´todo dos autovalores: e 2

Polinˆmio caracter´ o ıstico, autovalores e autovetores

a e O polinˆmio caracteristico de uma matriz ent˜o v ´