Macroeconomia

Sistemas Lineares – Aula 03 ´ Algebra Linear
Prof. Daniel F. Coutinho

PPGEE, PUCRS, Brasil.

Sum´ rio a
Cap´tulo 3, C.T. Chen (1999); ı ´ Conceitos e resultados de algebra linear; Base, representacao e ortonomalizacao; ¸˜ ¸˜ Equacoes Alg´ bricas Lineares; ¸˜ e Transformacao de similaridade, forma diagonal e de ¸˜ Jordan; Equacao de Lyapunov e outros resultados. ¸˜
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Introducao - 0.1 ¸˜
• Sistemas de Equacoes Lineares ⇒ solucao simultˆ nea de um conjunto de ¸˜ ¸˜ a equacoes, cujas vari´ veis aparecem de forma linear, e.g., ¸˜ a   10x + 20y + 20z = 100 50x + 40y + 10z = 300  30x + 10y + 40z = 200

• O sistema acima pode ser reescrito na forma de matrizes e vetores:      10 20 20 x 100  50 40 10   y  =  300  → Ax = b. 30 10 40 z 200

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Introducao - 0.2 ¸˜
• Resolucao de Sistemas de Equacoes Lineares. M´ todo de eliminacao de Gauss. ¸˜ ¸˜ e ¸˜ ´ – Atrav´ s da aplicacao de funcoes elementares a matriz do sistema e triangulae ¸˜ ¸˜ rizada. Matriz a ser triangularizada [ A b ]. – Troca de i-´ sima linha pro j-´ sima linha ⇒ li ⇔ lj e e – Substituicao de uma linha por uma combinacao dela com m´ ltipla de outra ¸˜ ¸˜ u li ⇐ li + αj lj – Substituicao da j-´ sima linha por uma m´ ltipla dela → li ⇐ αili. ¸˜ e u • No exemplo: – l2 ⇐ −l2 − 5l1 – l3 ⇐ −l3 + 3l1 – l3 ⇐ 5/6l2 − l3
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Introducao - 0.3 ¸˜
Resultando no seguinte sistema triangular      10 20 20 x 100  0 60 90   y  =  200  400 0 0 55 z 6 z= y= x=
400 ∼ 55×6 = 1.21 200−90×1.21 ∼ = 1.51 60 100−20×1.21−20×1.51 10

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Introducao - I ¸˜
• Considere Rn como o espaco dos n´ meros reais de dimens˜ o n. Cada vetor ¸ u a ´ x ∈ Rn e tal que   x1    x2  x =  .  , xi ∈ R. .  .  xn ´ • O conjunto de vetores Xm := {x1, x2, . . . , xm}, xi ∈ Rn, e dito ser linearmente dependente (LD) se existem n´