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Problema 3.1
Encontre os autovalores e os autovetores de . Suponha que o elétron está no estado de spin . Se é medido, qual é a probabilidade do resultado ?
Solução:
O vetor de estado pode ser escrito como:

...........................................................................................................................
Lembre-se:

...........................................................................................................................
Lembre-se:
. (3.2.27a) (3.2.28)
...........................................................................................................................
Para os autovalores temos:

...........................................................................................................................
Lembre-se:
. (1.4.18b)
Portanto:
.
...........................................................................................................................
Temos ainda que:

Substituindo, temos:

Os autovalores são: e
Para os autovetores, temos:

Substituindo, temos:

De acordo com a condição de normalização, temos:
.
Substituindo, temos:

Para , temos:

Substituindo , temos:

Substituindo , temos:

Portanto, e ...........................................................................................................................
Lembre-se:

...........................................................................................................................
Imagine que o sistema esta em um estado . Qual é a probabilidade ou amplitude de transição para o sistema ser achado em quando é medido?
A probabilidade de que o elétron esteja no estado de spin , se é medido, pode ser escrita como:
.
Temos ainda que:

Substituindo,

temos a probabilidade de que o elétron seja achado em com autovalor quando é medido:

Problema 3.2
Considere uma matriz definida por
,
onde é um número real e é um vetor tridimensional com componentes reais.

a. Prove que é unitário e