Lista de cálculo B

Areas de figuras planas em coordenadas cartesianas [1] Determine a ´area da regi˜ao do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas: (1.1) y = ln x, x = 2 e o eixo Ox (1.2) x = 8 + 2y − y 2 , y = 1, y = 3 e x = 0 (1.3) xy = 4 e x + y = 5 (1.4) y = 2x , y = 2x − x2 , x = 0 e x = 2 (1.5) y = 2x, y = 1 e y = 2 x (1.6) y = |x2 − 4| e y = 2 9 , y = 9x e y = x x (1.7) y = x3 − 3x e y = 2x2 (1.8) y = (1.9) f (x) = x|x| e g(x) = x3 (1.10) x = y 2 − 2 e x = 6 − y 2 Volumes por se¸c˜ oes planas paralelas [2] Utilizando se¸c˜oes planas paralelas, mostre que o volume de uma pirˆamide quadrangular a2 h reta, com altura h e base quadrada de lado a, ´e igual a . 3 [3] Utilizando integral de se¸c˜oes planas paralelas, mostre que o volume do cone circular πr 2 h reto, de altura h e raio da base r, ´e igual a . 3 [4] Calcule o volume do s´olido que tem para base um c´ırculo cujo raio mede 3 u. c. e cujas se¸c˜oes transversais a um diˆametro desta s˜ao quadrados, todos contidos em um mesmo semi-espa¸co em rela¸c˜ao ao plano que a contem, e que tˆem como um dos lados cordas da circunferˆencia da base, perpendiculares a esse diˆametro. [5] Calcule o volume de um s´olido que tem para base um c´ırculo de raio r e cujas se¸c˜oes transversais a um diˆametro da mesma s˜ao triˆangulos retˆangulos is´osceles, todos situados em um mesmo semi-espa¸co em rela¸c˜ao ao plano que a contem, e que tˆem como um dos seus catetos cordas…

planas em coordenadas cartesianas [1] Determine a ´rea da regi˜o do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas: a a (1.1) y = ln x, x = 2 e o eixo Ox (1.3) xy = 4 e x + y = 5 2 x (1.7) y = x3 − 3x e y = 2x2 (1.5) y = 2x, y = 1 e y = (1.9) f (x) = x|x| e g(x) = x3 (1.2) x = 8 + 2y − y 2 , y = 1, y = 3 e x = 0 (1.4) y = 2x , y = 2x − x2 , x = 0 e x = 2 (1.6) y = |x2 − 4| e y = 2 9 (1.8) y = , y = 9x e y = x x (1.10) x = y 2 − 2 e x = 6 − y 2 Volumes por…

coordenadas cartesianas [1] Determine a ´rea da regi˜o do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas: a a (1.1) y = ln x, x = 2 e o eixo Ox (1.2) x = 8 + 2y − y 2 , y = 1, y = 3 e x = 0 (1.3) xy = 4 e x + y = 5 (1.4) y = 2x , y = 2x − x2 , x = 0 e x = 2 (1.5) y = 2x, y = 1 e y = 2 x (1.6) y = |x2 − 4| e y = 2 9 , y = 9x e y = x x (1.7) y = x3 − 3x e y = 2x2 (1.8) y = (1.9) f (x) = x|x| e g(x) = x3 (1.10) x = y 2 − 2 e x = 6 − y 2…

Descrevendo Regioes no Plano Cartesiano ˜ e no Espa¸o Euclidiano c Americo Cunha D´bora Mondaini e Ricardo S´ Earp a Departamento de Matem´tica a Pontif´ Universidade Cat´lica do Rio de Janeiro ıcia o 1 Regi˜es no Plano o Nos exemplos a seguir desejamos descrever regi˜es como uni˜es de regi˜es, onde o o o cada uma destas ser´ descrita em um dos dois formatos padr˜es: a o a ≤ x ≤ b e f (x) ≤ y ≤ g (x) , “Tipo II”: R = (x, y ) ∈ R2 ou “Tipo I”: R =…

= (2, −3) e v = (−2, 1), determinar o vetor w tal que a) 4(u − v) + 1 w = 2u − w 3 2. Para quais valores de k ∈ R o conjunto {(1, k), (k, 4)} ´ LI? e 3. Os pontos (2, 3), (3, 1) e (9, y) s˜o v´rtices consecutivos de uma retˆngulo. Determine o quarto a e a v´rtice e a ´rea do paralelogramo. e a 4. Sejam E = {u1 , u2 , u3 } e F = {v 1 , v 2 , v 3 } bases no conjunto V = R3 e tais que v 1 = 3u1 − 2u2 , v 2 = u1 − 3u2 + 4u3 , v 3 = 2u1 + u3 . Calcule as coordenadas de w = (1, 2, 1)F na base…

qualquer ca o o e cone de duas folhas por um plano que n˜o passa pelo v´rtice, chamado de plano secante. a e • Se o plano secante ´ paralelo a uma geratriz do e cone, a cˆnica ´ uma par´bola. o e a • Se o plano secante n˜o ´ paralelo a uma geratriz ae e corta s´ uma das duas folhas do cone, a cˆnica ´ o o e uma elipse. • Se o plano secante n˜o ´ paralelo a uma geraae triz e corta ambas folhas do cone, a cˆnica ´ uma o e hip´rbole. e No caso de um plano que passa pelo v´rtice do cone…

18 Se¸˜es Cˆnicas co o 1 Introdu¸˜o ca Uma se¸˜o cˆnica ou, simplesmente, uma cˆnica ´ uma curva obtida cortando-se qualquer ca o o e cone de duas folhas por um plano que n˜o passa pelo v´rtice, chamado de plano secante. a e • Se o plano secante ´ paralelo a uma geratriz do e cone, a cˆnica ´ uma par´bola. o e a • Se o plano secante n˜o ´ paralelo a uma geratriz a e e corta s´ uma das duas folhas do cone, a cˆnica ´ o o e uma elipse. • Se o plano…

qualquer cone de duas folhas por um plano que n˜ ao passa pelo v´ertice, chamado de plano secante. • Se o plano secante ´e paralelo a uma geratriz do cone, a cˆonica ´e uma par´abola. • Se o plano secante n˜ao ´e paralelo a uma geratriz e corta s´o uma das duas folhas do cone, a cˆonica ´e uma elipse. • Se o plano secante n˜ao ´e paralelo a uma geratriz e corta ambas folhas do cone, a cˆonica ´e uma hip´erbole. No caso de um plano que passa pelo v´ertice do cone…

qualquer cone de duas folhas por um plano que n˜o passa pelo v´rtice, chamado de plano secante. a e • Se o plano secante ´ paralelo a uma geratriz do e cone, a cˆnica ´ uma par´bola. o e a • Se o plano secante n˜o ´ paralelo a uma geratriz a e e corta s´ uma das duas folhas do cone, a cˆnica ´ o o e uma elipse. • Se o plano secante n˜o ´ paralelo a uma geraa e triz e corta ambas folhas do cone, a cˆnica ´ uma o e hip´rbole. e No caso de um plano que passa pelo v´rtice do cone…

circunferˆncia com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto a ca e A(1, 1). Resp.: (λ) : (x − 2)2 + (y − 1)2 = 1 2a Quest˜o: Determine a equa¸˜o reduzida da circunferˆncia que passa pelos pontos (2, 5), (1, 6) e (−3, 0). a ca e Resp.: O centro da circunferˆncia situa-se na intersec¸˜o das mediatrizes que ligam quaisquer dois pontos. e ca (λ) : (x + 1)2 + (y − 3)2 = 13 3a Quest˜o: Determine se as equa¸˜es dadas abaixo representam ou n˜o uma circunferˆncia. Em caso afirmativo, a co a…