Calculo III INT DP e TR Resolvidos

diferena entre sonho e realidade ´e a quantidade certa de tempo e trabalho. William Douglas 4 1. Determine o volume da regi˜ ao s´ olida limitada pela superf´ıcie √ sen(x + y ) e a regi˜ ao plana circular de centro (0, 0, 0) e raio 2π. 2 E z = 2 Solu¸ c˜ ao . Observar que parte da regi˜ao E fica acima da regi˜ao plana circular de √ centro (0, 0, 0) e raio π e a outra parte embaixo da regi˜ao plana limitada pelas √ √ circunferˆencias concˆentricas de centro (0, 0, 0) e raios π e 2π respetivamente. Logo, usando coordenadas polares, o volume da regi˜ao E ´e √ π 2π V = 0 0 2π = 0 = 2π √ 2π 2 rsen(r )drdθ − √ 1 π − cos(r 2 ) 0 dθ + 2 2π + 2π = 4π 5 0 2π 0 √ rsen(r 2 )drdθ π √ 1 cos(r 2 ) √2π dθ π 2 2. Calcular R y+x y−x cos , onde R ´ e a regi˜ ao trapezoidal com v´ ertices (2, 0), (4, 0), (0, 4) e (0, 2). Solu¸ c˜ ao . Vamos fazer a mudan¸ca de vari´aveis: u=x+y v =x−y Essas equa¸co˜es definem a transforma¸ca˜o inversa T −1 do plano xy para o plano uv. E, a transforma¸ca˜o T, do plano uv para o plano xy, ´e dada pelas equa¸co˜es x= ∂(x,y) ∂(u,v) O jacobiano de T ´e = 1 (u + v) 2 −1 2 . y= 1 (u − v) 2 A transforma¸ca˜o T transforma uma regi˜ao S no plano uv na regi˜ao R como mostra a figura abaixo: Logo: cos R y+x y−x dA = 1 2 = 1 2 = = 6 1 2 0 S 4 2 4 2 u cos( )dudv v v u cos( )dudv v −v u v 2 sen2 ( )|v−v dv v 3. Determine o volume da regi˜ ao s´ olida 2 2 2 E limitada pela superf´ıcie 2 (x + y )sen(x…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Aula 2 - Mudança de variáveis e aplicações da integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 Mudança de variáveis em integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 O determinante como área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Integral dupla em Coordenadas Polares . . . . . .…

altura retângulo é dada pela seguinte fórmula: as funções de uma além dos conceitos Estas aparecem de y. A área S desse S = xy Se x = 2m e y = 8m, implica que S = 16m2 , mas se x = 3m e y = 5m, teremos que S = 15m2 . De modo geral, dados valores a x e y, resulta em um valor determinado para S. Dizemos então que a área S é função das variáveis x e y. Tomemos um paralelepípedo retângulo de comprimento x, largura y e altura z. O volume V desse sólido é dado pela seguinte…

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. . . . . . . . . . . . . 133 6 Integral 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O Teorema Fundamental do Cálculo Áreas de regiões do plano 6.5.1 6.5.2 6.6 6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 137 140 142 146 147 148 151 154 155 157 159 163 163 164 169 169 171 173 174 175 176…

funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 133 Integral 137 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.2 A integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.3 O Teorema Fundamental do Cálculo .................... 142 6.4 Áreas de regiões do plano .......................... 146 6.5 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . .…

137 Integral 141 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2 A integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3 O Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.4 Áreas de regiões do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.5 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .…

. . . . . . . . . . . 134 137 6 Integral 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O Teorema Fundamental do Cálculo Áreas de regiões do plano 6.5.1 6.5.2 6.6 6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 141 145 147 150 152 153 156 159 160 161 164 168 168 169 174 174 176 178 179 180 181…

137 Integral 141 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2 A integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3 O Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.4 Áreas de regiões do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.5 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .…

137 Integral 141 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2 A integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3 O Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.4 Áreas de regiões do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.5 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .…