Facul

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
´
INSTITUTO DE MATEMATICA
Departamento de Matem´tica Pura e Aplicada a MAT 01353 C´lculo e Geometria Anal´ a ıtica IA

GEOMETRIA ANAL´
ITICA
ˆ
CONICAS

Janice Nery
Liana Costi N´cul a Luisa Rodr´ ıguez Doering
Maria Fernanda Recena Menezes

PORTO ALEGRE
Julho/2005

Conte´ do u 1

Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 1

2

Defini¸˜o das Cˆnicas como Lugar Geom´trico . . . . . . . . . . . . . . . ca o e 2

3

Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca o o 3

4

Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas com Centro Gen´rico (h, k ) . . . ca o o e

5

5

Identifica¸˜o das Cˆnicas e de seus Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . ca o

5

6

Exerc´ ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

7

Par´bola × Ensino M´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e

10

8

Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

9

Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Se¸˜es Cˆnicas co o
1

Introdu¸˜o ca Uma se¸˜o cˆnica ou, simplesmente, uma cˆnica ´ uma curva obtida cortando-se qualquer ca o o e cone de duas folhas por um plano que n˜o passa pelo v´rtice, chamado de plano secante. a e

• Se o plano secante ´ paralelo a uma geratriz do e cone, a cˆnica ´ uma par´bola. o e a • Se o plano secante n˜o ´ paralelo a uma geratriz ae e corta s´ uma das duas folhas do cone, a cˆnica ´ o o e uma elipse.

• Se o plano secante n˜o ´ paralelo a uma geraae triz e corta ambas folhas do cone, a cˆnica ´ uma o e hip´rbole. e

No caso de um plano que passa pelo v´rtice do cone