Lista 3 Autovalores

LISTA DE AUTOVALORES E AUTOVETORES 1) Determine os autovalores e os autovetores da matriz  3 −1 1  A = − 1 5 − 1  1 − 1 3  2) Dada a matriz abaixo, ache os autovalores, os diagonalizável. 1 − 3 A = 3 − 5 6 − 6 autovetores e verifique se ela pode ser 3 3 4 3) Dada a matriz abaixo, ache os autovalores, os autovetores e verifique se ela pode ser diagonalizável.  − 3 1 − 1 A = − 7 5 − 1  − 6 6 − 2 4) Determine os autovalores das seguintes matrizes: 1 2 a) −1 4 2 2 b) 1 3 5 −1 c) −1 3 0 1 d) −1 0 1 2 5) Os vetores-coluna v1 = e v2 = são autovetores de uma matriz quadrada A, 1 −1 associados aos autovalores λ1 = 5 e λ 2 = -1, respectivamente. Determinar o produto Av para 4 o vetor v = . 1 6) Determinar a matriz quadrada cujos autovalores são λ1 = 1 e λ 2 = 3 associados aos 0 autovetores v1 = − e v2 = , respectivamente. “A nitidez é uma conveniente distribuição de luz e sombra”. (Goethe) RESPOSTAS 1) λ1 = 2, v1 = a(-1,0,1), a ≠ 0 / λ 2 = 2, v2 = a(1,1,1), a ≠ 0 / λ3 = 6, v3 = a(1,1,1), a ≠ 0. Obs: Use a equação característica do operador Det(A- λ I) = 0 para achar os autovalores, e em seguida achar os autovetores por substituição dos respectivos autovalores na mesma equação. Não esqueça que A é a matriz da transformação. 2) λ1 = 4, v1 = a(1,1,2), a ≠ 0 ; λ 2 = λ3 =-2, v2 = a(1,1,0) + b(-1,0,1). Para A ser diagonalizável deve existir a matriz inversa da matriz dos autovetores. Como na questão o determinante da matriz dos autovetores é…

si. Para se ter uma ideia geométrica, tomemos o espaço vetorial e o produto interno usual (ou canônico). Sejam dois vetores quaisquer, a ideia é obter um vetor , ortogonal a a partir de e de sua projeção sobre . Segue na figura abaixo a ideia: Vetorialmente:  E, pela figura: ; assim como . O processo de Gram-Schmidt é baseado na mesma ideia, mas extendida para até dimensões. Seja uma base qualquer, queremos achar uma base ortogonal . A “fórmula” de Gram-Schmidt…

AUTOVALORES,AUTOVETORES E BASE. EXERCÍCIOS: Lembrar que: Autovetores de A associados a autovalores distintos são linearmente independentes. 1) Ache os autovalores e autovetores ,se possível: a) A = 2 0 0 0 1 0 0 0 2 b) B = 2 1 -1 0 1 1 0 0 2 c) A= 0 -1 1 0 2)Ache os autovalores e os autovetores e uma base de autovetores para as matrizes a) A= 4 5 2 1 b) A = 3 0 -4 0 3 5 0 0 -1 RESPOSTAS: 1) a)Primeiro achar os autovalores: |A-λI | = det 2-λ 0 0 0 1- λ 0 0 0 2-λ = (2-λ)(1-λ)(2-λ) =…

1. Ache todos os autovalores e autovetores das matrizes 01) 1 5    3 3   a)   1 2  1   1 1 0 4  4 5   b)  Solução: 1 5   3 3   a)  Encontraremos inicialmente o polinômio característico da matriz A - cI:  1 5 1 0  5  1  c   det  det( A  cI )  det    c   3 3  c    3 3  0 1       1  c (3  c)  15  3  c  3c  c 2  15  c 2  4c  12 Temos que os autovalores são as raízes do…

Geometria Analítica e Álgebra Linear 158 7. Autovalores e Autovetores Diagonalização Todas as matrizes consideradas neste capítulo serão quadradas. Se A é uma matriz n  n,   então, para v em Rn, A v será também um vetor em Rn (figura 7.1a). Um problema de  importância considerável em muitas aplicações é a determinação de vetores v , quando   existirem, tais que v e A v sejam paralelos (figura 7.1b). Tais problemas surgem em aplicações que envolvem vibrações; surgem em…

de veores U1 , · · · , Un , então A é invertível e A n −1 a partir . Se A = [U1 , · · · , Un ] uma matriz n × n cujas colunas são = AT . (Sugestão: mostre que AT A = In .) 4. Encontre o ponto P , se as coordenadas de P em relação ao sistema de coordenadas S, [P ]S , é:   −1 √ √ √ √   [P ]S =  1  , em que S = {(0, 1/ 2, −1/ 2), (1, 0, 0), (0, 1/ 2, 1/ 2)}.   2 . 5. Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz   0 1 2   A= 0 0 3   …

determine os autovalores e autovetores deste operador linear.; Matriz canônica de A Det( A-)= 0 )) – ((4)] [(2(-2-] [(2(-1)-1(-3-)] Então os autovalores são 1, -1, e 3 Autovetor relacionado ao autovalor 1 temos: Então : x= -y e z = 0 Autovetor relacionado ao autovalor temos: Então x = 0 e y = -z E Autovetor relacionado ao autovalor temos: Então:…

VETORES E GEOMETRIA EMENTA: 1. Vetores no espaço bidimensionais e tridimensionais; 2. Aplicações de vetores à geometria analítica; 3. Espaços vetoriais reais; 4. Transformações lineares. 5. Autovalores e autovetores; CONTEÚDO PROGRAMÁTICO: 1. VETORES EM R2 E R3 Definições; Operações; Módulo de um vetor; Produto escalar; Ângulo entre vetores; Produto vetorial em R3; Produto Misto em R3. 2. Aplicações de vetores à geometria analítica; Sistema de coordenadas…

Álgebra Linear Autovalores e Autovetores Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Autovalores e Autovetores • Dada uma transformação linear de um espaço vetorial nele mesmo, T:V→V, gostaríamos de saber quê vetores seriam levados neles mesmos por essa transformação • Isto é, dada T:V→V, quais os vetores v∈V tais que T(v) = v? • v é chamado de vetor fixo • Obviamente, a condição é válida para v igual ao…

BASE 1. Quais são as coordenadas de  em relação à base 2. Determinar as coordenadas da matriz  de  em relação à base: 3. Considere  base de . Determine: a.  onde  b.  onde  4. Ache a matriz mudança de base B para C sendo, B base canônica do  e 5. Sejam ,  e  bases do plano. Determine: a.  b.  c.  6. Considere as bases  e  assim relacionadas: a. Determine  b. Determine  c. Se um vetor  de  apresenta coordenadas…