Programacao linear

Geometria Analítica e Álgebra Linear

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7. Autovalores e Autovetores

Diagonalização
Todas as matrizes consideradas neste capítulo serão quadradas. Se A é uma matriz n  n,   então, para v em Rn, A v será também um vetor em Rn (figura 7.1a). Um problema de  importância considerável em muitas aplicações é a determinação de vetores v , quando   existirem, tais que v e A v sejam paralelos (figura 7.1b). Tais problemas surgem em aplicações que envolvem vibrações; surgem em aerodinâmica, elasticidade, física nuclear, mecânica, engenharia química, biologia, equações diferenciais, etc. Nesta seção formularemos precisamente este problema; definiremos também alguma terminologia pertinente. Na próxima seção resolveremos o problema em questão no caso de matrizes simétricas e discutiremos rapidamente a situação do caso geral.

Fig. 7.1 (a)

Fig. 7.1 (b)

Definição Seja A uma matriz n  n. O número real  é chamado um autovalor de A se existir um  x1       vetor não-nulo v     em Rn, tal que Av   v (1)  xn     Qualquer vetor v não-nulo que satisfaça (1) é chamado de um autovetor de A associado ao autovalor . Os autovalores são também chamados de valores próprios, valores característicos e valores latentes; e os autovetores são chamados de vetores próprios, vetores característicos e vetores latentes.

  Observe que v  0 satisfaz sempre a equação (1), mas insistimos que um autovetor v seja um vetor não-nulo. Em algumas aplicações práticas encontram-se espaços vetoriais complexos e escalares complexos. Em tal contexto, a definição acima é modificada de maneira que um autovalor possa ser um número complexo. Tais tratamentos são apresentados em livros mais avançados. Neste livro exigimos que um autovalor seja um número real.

01 de fevereiro de 2010

Alex N. Brasil

Geometria Analítica e Álgebra Linear Ex.: 1

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Se A é uma matriz identidade In então o único autovalor é  = 1; qualquer vetor nãonulo de Rn é um autovetor de A