algebra linear

1. Ache todos os autovalores e autovetores das matrizes
01) 1 5 

 3 3


a) 

 1 2  1


1
1 0
4  4 5 

b) 

Solução:
1 5

 3 3


a) 

Encontraremos inicialmente o polinômio característico da matriz A - cI:
 1 5 1 0 
5 
1  c
  det  det( A  cI )  det  
 c

 3 3  c 

 3 3
 0 1  



 1  c (3  c)  15  3  c  3c  c 2  15

 c 2  4c  12
Temos que os autovalores são as raízes do polinômio característico. Logo as raízes de c 2  4c  12 são 6 e – 2, pois:

Resolvendo a equação

, temos:

√

Portanto os autovalores da matriz são - 2 e 6.
Agora dado v um autovetor com coordenadas (x, y) para calcularmos devemos resolver o sistema dado por (A- cI)v = O, ou seja,

5  x   0 
1  c

 3 3  c  y    0 
   

   
Agora iremos calcular os autovetores associados aos autovalores:
 Autovetor associado ao autovalor c = - 2:
5  x   0   3 5  x   0  3x  5 y  0
1  c

 3 3  c  y    0    3 5  y    0   3x  5 y  0
    
   

    
    
Escalonando a matriz completa associada ao sistema teremos:
3 5 0
 3 5 0



~
3 5 0 L  L  L  0 0 0
2
1

 2


Retornando ao sistema original, teremos:

3x  5 y  0

0 x  0 y  0
5
Isolando x na primeira equação teremos que x   y .
3
Dessa forma, sendo v=(x,y) um autovetor associado ao autovalor -2 teremos que suas
1
 5

coordenadas serão: v  ( x, y)    y, y    y(5,3) .Portanto um autovalor associado
3
 3

seria (5,3).



Autovetor associado ao autovalor c = 6:
5  x   0    5 5  x   0   5 x  5 y  0
1  c

 3 3  c  y    0    3  3  y    0   3x  3 y  0
    
   

    
    

Escalonando a matriz completa associada ao sistema teremos:
  5 5 0
  5 5 0
  5 5 0




1 ~
~
1
 3