Mister bean

U NIVERSIDADE E STADUAL DO P IAUÍ C AMPUS A NTONIO G EOVANNE A LVES DE S OUSA C ENTRO DE C IÊNCIAS DA N ATUREZA L ICENCIATURA P LENA EM F ÍSICA
ÁLGEBRA

L INEAR AVALIAÇÃO - 3

NOME :..................................................................................

1. Encontre um subconjunto com maior número possível de vetores ortonormais no subespaço de vetores (a, b, c, d) ∈
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tais que a − b − 2c + d = 0.
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2. Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonornal de da base {(1,1,1),(0,1,1),(1,2,3)}. 3. Seja {U1 , · · · , Un } uma base ortonornal de veores U1 , · · · , Un , então A é invertível e A n −1

a partir

. Se A = [U1 , · · · , Un ] uma matriz n × n cujas colunas são

= AT . (Sugestão: mostre que AT A = In .)

4. Encontre o ponto P , se as coordenadas de P em relação ao sistema de coordenadas S, [P ]S , é:   −1 √ √ √ √   [P ]S =  1  , em que S = {(0, 1/ 2, −1/ 2), (1, 0, 0), (0, 1/ 2, 1/ 2)}.   2 . 5. Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz   0 1 2   A= 0 0 3    0 0 0 . 6. Ache para a matriz  3 0 −2 2 0 1   A= 0   0   0

uma matriz não singular P tal que P −1 AP seja diagonal. 7. Sabendo que V1 = (−4, −4, −1), V2 = (5, 4, 1) e V3 = (5, 3, 1) são autovetores da matriz   1 5 − 3 − 6 20 3   1 A =  − 2 − 6 16   3 3  1 − 1 − 6 11 6 3 a) Sem obter o polinômio característico determine os autovalores correspondentes a estes autovalores. b) A matriz é diagonalizável? Justifique. 8. Seja A uma matriz simétrica. Sabendo-se que V1 = (0, 2, −2, 1) e V2 = (2, 1, −2, 3) são autovetores de A associados a λ1 = 2 e V3 = (−2, 0, 1, 2) e V4 = (−3, −2, −1, 2) são autovetores associados a λ2 = 4. Determine, se possível, uma matriz P e uma matriz diagonal D tais que A = P DP T .

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