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Álgebra Linear
Autovalores e Autovetores
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Autovalores e Autovetores
• Dada uma transformação linear de um espaço vetorial nele mesmo, T:V→V, gostaríamos de saber quê vetores seriam levados neles mesmos por essa transformação
• Isto é, dada T:V→V, quais os vetores v∈V tais que T(v) = v?
• v é chamado de vetor fixo
• Obviamente, a condição é válida para v igual ao vetor nulo (pela definição de transf. linear), logo, vamos desconsiderá-lo
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• Aplicação:
Solução de equações diferenciais
Equações do tipo: a.x’ + bx + c = d, onde x’=dx/dy

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• Exemplo 1:
I:R2 → R2

Transformação Identidade

(x, y) → (x, y)
Neste caso, todo R2 é fixo uma vez que I(x, y) = (x, y) para todo (x, y)∈R2

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• Exemplo 2: rX:R2 → R2
(x, y) → (x, -y)
Ou

Reflexão no Eixo-x

x
1 0 x
→
y
0 -1 y

w

rX

→ rX(w) Podemos notar que todo vetor pertencente ao eixo x é mantido fixo pela transformação rx. De fato:

1 0 x = x
0
0 -1 0

Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello [e-mail] Ou seja rx(x, 0) = (x, 0)
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Cont.

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• Exemplo 2: Reflexão no Eixo-x
Ainda mais, esses vetores são únicos com essa propriedade já que:

1 0 x = x ⇒ y 0 -1 y
⇒

x + 0y = x
0x – y = y

x=x y = -y ⇒ y = 0

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• Exemplo 3:
N:R2 → R2
(x, y) → (0, 0)

Transformada nula

Nesse caso, o único vetor fixo é N(0, 0) = (0, 0)

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• Considere o seguinte problema: